Functional Equation

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Lê Qúy Đôn, Bình Định)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ và thỏa mãn :

$$f(m+f(n))=f(m+n)+2n+2,\forall m,n\in \mathbb{N}(1)$$

Lời giải :

Trong $(1)$ cho $m=0$ được $f(f(n))=f(n)+2n+2,\forall n\in \mathbb{N}$

Gỉa sử $\exists t_1,t_2\in \mathbb{N}$ và thỏa :

$f(t_1)$$=f(t_2)$$\Rightarrow f(f(t_1))$$=f(f(t_2))$$\Rightarrow f(t_1)+2t_1+2$$=f(t_2)+2t_2+2$$\Rightarrow t_1$$=t_2$

Do đó $f$ là đơn ánh.

Đặt $f(0)=a$ thì trong $(1)$ cho $n=0$ được :

$$f(m+a)=f(m)+2,\forall m\in \mathbb{N}(2)$$

Áp dụng $(1)$ và $(2)$ :

$f(m+f(n))$$=f(m+n)+2n+2$$=\left[f(m+n)+2\right]+2n$$=\left[f(m+n+a)+2\right]+2(n-1)$$=\left[f(m+n+2a)+2\right]+2(n-2)$$=...$$=f\left(m+n+(n+1)a\right)$

Do $f$ là đơn ánh nên :

$$m+f(n)=m+n+(n+1)a,\forall m,n\in \mathbb{N}\Rightarrow f(n)=(a+1)n+a,\text{l}\forall n\in \mathbb{N}$$

Thay vào $(1)$ :

$\left(a+1\right)\left((a+1)n+a+m\right)+a$$=(a+1)(m+n)+a+2n+2,\forall m,n\in \mathbb{N}$$\Rightarrow a$$=1$

Dẫn đến $f(n)=2n+1,\forall n\in \mathbb{N}$.

Kết luận : Có duy nhất một hàm số thỏa đề là $f(n)=2n+1,\forall n\in \mathbb{N}$