Functional Equation

Bài toán : Tìm tất cả các hàm số $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ sao cho 

$$f(m+f(n))=n+f(m+1),\forall m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

Lời giải :

Ta chứng minh $f$ là đơn ánh. Thật vậy, giả sử $f(n_1)=f(n_2)$

Ta có $m+f(n_1)=m+f(n_2)\Rightarrow f(m+f(n_1))=f(m+f(n_2))\Rightarrow n_1+f(m+1)=n_2+f(m+1)\Rightarrow n_1=n_2$

Như vậy, $f$ là đơn ánh.

Với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ :

$$f(f(1)+f(n))=n+f(f(1)+1)=n+1+f(1+1)=f(1+f(n+1))\Rightarrow f(1)+f(n)=1+f(n+1)$$

Dẫn đến $f(n+1)-f(n)=f(1)-1=a,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Từ đó lần lượt có :

$$f(n)-f(n-1)=a,...,f(2)-f(1)=a,f(1)-1=a$$

Cộng vế theo vế các đẳng thức trên :

$$f(n)-1=na,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\Rightarrow f(n)=an+1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

Thay vào phương trình hàm ban đầu :

$$a(m+an+1)+1=n+a(m+1)+1,\forall m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\Rightarrow a^2=1\Rightarrow a=\pm 1$$

Nếu $a=-1$ thì $f(n)=-n+1\notin {\mathbb{N}}^{\ast }\forall n\ge 1$, do đó $a=1$.

Kết luận : Có duy nhất một hàm số thoả đề là $f(n)=n+1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$