Polynomial

Bài toán : Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ nhận $x=1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$ làm một nghiệm. Chứng minh $degP(x)\ge 6$

Lời giải :

Ta có :

$(x-1-\sqrt{2}{)}^3$$=3$$\Rightarrow x^3-3x^2(1-\sqrt{2})+3x{\left(1-\sqrt{2}\right)}^2-(1-\sqrt{2}{)}^3$$=3$$\Rightarrow x^3-3x^2+9x-10$$=(6x-3x^2-5)\sqrt{2}$$\Rightarrow (x^3-3x^2+9x-10{)}^2$$=2(3x^2-6x+5{)}^2$

Thu gọn, ta được :

$$x^6-6x^5+9x^4-2x^3+9x^2-60x+50=0$$

Ta chứng minh đa thức $H(x)=x^6-6x^5+9x^4-2x^3+9x^2-60x+50$ là đa thức có bậc nhỏ nhất mà có nghiệm $x=1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$.

Gỉa sử tồn tại một đa thức $Q(x)$ không đồng nhất $0$ có bậc không lớn hơn $5$ với hệ số nguyên và có nghiệm $x=1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$.

$$Q(x)=a{x}^5+b{x}^4+c{x}^3+d{x}^2+ex+f$$

Ta có :

$Q\left(1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}\right)$$=0$$\iff a{\left(1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}\right)}^5+b{\left(1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}\right)}^4+c{\left(1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}\right)}^3+d{\left(1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}\right)}^2+e\left(1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}\right)+f$$=0$

Khai triển ta được :

$$Q(x)=k_0+k_1\sqrt{2}+k_2\sqrt[3]{3}+k_3\sqrt[3]{9}+k_4\sqrt{2}\sqrt[3]{3}+k_5\sqrt{2}\sqrt[3]{9}=0$$

$$(k_i\in \mathbb{Z},\forall i=\overline{0,5})$$

Từ đây có ngay $k_i=0,\forall i=\overline{0,5}$.

Dẫn đến $Q(x)\equiv 0$, mâu thuẫn. Do đó $H(x)$ là đa thức có bậc nhé nhất thỏa đề.

Khi đó tất cả các đa thức $P(x)$ cần tìm sẽ có dạng $P(x)=H(x).T(x)$ với $T(x)\in \mathbb{Z}\left[x\right]$. Thật vậy, giả sử : $P(x)=H(x).T(x)+R(x)$ với $degR(x)<degH(x)$

Vì $P(1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3})=H(1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3})=0\Rightarrow R(1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3})=0$.

Đây là điều mâu thuẫn vì $H(x)$ là đa thức bậc bé nhất có nghiệm $x=1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$.

Suy ra $R(x)\equiv 0$, dẫn đến :

$$P(x)=H(x).T(x)$$

 Theo trên ta có $degP(x)\ge degH(x)=6$