Space Geometry

Bài toán : Cho hình chóp $SABCD$ có đáy là hình thang $ABCD$, $AD$ không song song với $BC$. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $SC$. Gọi $N$ là giao điểm của $SD$ với mặt phẳng $ABM$. Gọi $P$ là giao điểm của $AN$ với $BM$, $Q$ là giao điểm của $AD$ với $BC$. Chứng minh rằng $S,P,Q$ thẳng hàng.

Lời giải : 

Trước tiên, ta xác định điểm $N$.

Gọi $O$ là giao điểm của $AC,BD$. Ta có $S\in mp\left(SAC\right),S\in mp\left(SBD\right),O\in mp(SAC),O\in mp\left(SBD\right)$, như vậy $SO$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $SAC,SBD$.

Gọi $I=SO\cap AM$. Ta có $I,B$ thuộc hai mặt phẳng $SBD,MAB$ nên $BI$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $SBD,MAB$.

Khi đó điểm $N$ cần xác định chính là giao điểm của $BI$ với $SD$.

Ta thấy hai điểm $S,Q$ cùng thuộc hai mặt phẳng $SAD,SBC$ nên $SQ$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $SAD,SBC(1)$

Cũng thấy $S,P$ thuộc hai mặt phẳng $SAD,SBC$ nên $SP$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $SAD,SBC(2)$

Từ $(1)(2)$ ta có $S,P,Q$ thẳng hàng.