Number Theory

Bài toán : Tìm số nguyên dương $n$ sao cho $n\mid 3^n-2^n$.

Lời giải :

Hiển nhiên $n=1$ thỏa mãn. Xét $n\ge 2$, khi đó $n$ có ước nguyên tố nhỏ nhất, gọi ước nguyên tố nhỏ nhất đó là $p$.

Gọi $t\in \mathbb{N}$ là nghịch đảo của $2$ modulo $p$, tức là $2t\equiv 1(modp),1\le t\le p-1$.

Ta có $3^n\equiv 2^n(modp)\Rightarrow (3t{)}^n\equiv (2t{)}^n\equiv 1(modp)\Rightarrow or{d}_p(3t)\mid n(1)$

Nếu $p=3$ thì $3\mid 3\Rightarrow 3\mid 3^n-2^n\Rightarrow 3\mid 2^n$ (vô lí). Vậy $p\ne 3$ và vì $1\le t\le p-1$ nên $gcd(t,p)=1\Rightarrow gcd(3t,p)=1$.

Theo định lí $Fermat$ nhỏ, ta có ${\left(3t\right)}^{p-1}\equiv 1(modp)\Rightarrow or{d}_p(3t)\mid p-1(2)$

Từ $(1)(2)$ suy ra $or{d}_p(3t)$ có một ước nguyên tố $r$ mà $r\mid n$ và $r\le p-1<p$. Điều này mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của $p$. Suy ra $or{d}_p(3t)=1\Rightarrow 3t\equiv 1\equiv 2t(modp)\Rightarrow t\equiv 0(modp)$

Ta gặp điều mâu thuẫn.

Kết luận : Có duy nhất một số nguyên dương $n$ thỏa đề là $n=1$.