Bài toán : Cho đường tròn nội tiếp $(O)$ của tam giác $ABC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. $AM$ cắt $(O)$ tại hai điểm $K,L$ ($K$ nằm giữa $A,L$). Qua $K$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $X$. Qua $L$, kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $Y$. $AX,AY$ cắt $BC$ tại $Q,P$. Chứng minh $M$ là trung điểm của $PQ$. Lời giải : Bổ đề : Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(O)$, tiếp điểm của $(O)$ trên $BC,CA,AB$ lần lượt là $D,E,F$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh $AM,EF,OD$ đồng quy. Chứng minh bổ đề : Gọi $I$ là giao của $OD$ với $EF$. Ta chứng minh $AI$ đi qua trung điểm $M$ của $BC$. Ta sẽ xây dựng nên chùm điều hòa. Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $OD$ tại $J$, cắt $EF$ tại $S$. Ta có $\widehat{EJI}=\widehat{EAO}=\widehat{OAF}=\widehat{FJI}$ (các điểm $A,F,O,E,J$ đồng viên) Tức là $JI$ là phân giác góc $FJE$. Mặt khác $JI \perp JS$ $\left ( JI \perp BC,BC\parallel JS \right )$ Do đó chùm $J(FEIS)=-1$, tức $A\left ( BCIS \right )=-1$. Mặt khác chùm $A(BCIS)$ có $BC\parallel AS$ nên $AI$ đi qua trung điểm $M$ của $BC$. Bổ đề được chứng minh. Quay trở lại bài toán : Gọi $R$ là giao của $YL$ với $AQ$ Theo bổ đề trên ta có $AM,OD,EF$ đồng quy tại $W$ hay $KL,OD,EF$ đồng quy tại $W$. Mà $XKYL$ là hình thang cân có $OD$ là trục đối xứng, lại có $OD$ cắt $KL$ ở $W$ nên $W$ cũng thuộc $XY$. Ta có $(AWKL)=-1$ (hàng điều hòa về đường tròn) nên $X(AWKL)=X(RYKL)=-1$, mà $XK\parallel RY$ nên $L$ là trung điểm của $RY$, tức $YL=LR$ Theo định lí $Thales$ $\dfrac{YL}{PM}=\dfrac{AL}{AM}=\dfrac{LR}{MQ}\Rightarrow MP=MQ$, tức $M$ là trung điểm của $PQ$. Ta có điều phải chứng minh.

Geometry

Bài toán : Cho đường tròn nội tiếp $(O)$ của tam giác $A B C$ . Gọi $M$ là trung điểm của $B C$ . $A M$ cắt $(O)$ tại hai điểm $K, L$ ( $K$ nằm giữa $A, L$ ). Qua $K$ kẻ đường thẳng song song với $B C$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $X$ . Qua $L$ , kẻ đường thẳng song song với $B C$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $Y$ . $A X, A Y$ cắt $B C$ tại $Q, P$ . Chứng minh $M$ là trung điểm của $P Q$ .

Lời giải :

Bổ đề : Cho tam giác $A B C$ ngoại tiếp $(O)$ , tiếp điểm của $(O)$ trên $B C, C A, A B$ lần lượt là $D, E, F$ . Gọi $M$ là trung điểm của $B C$ . Chứng minh $A M, E F, O D$ đồng quy.

Chứng minh bổ đề :

Gọi $I$ là giao của $O D$ với $E F$ . Ta chứng minh $A I$ đi qua trung điểm $M$ của $B C$ . Ta sẽ xây dựng nên chùm điều hòa.

Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $B C$ cắt $O D$ tại $J$ , cắt $E F$ tại $S$ .

Ta có $E J I = E A O = O A F = F J I$ (các điểm $A, F, O, E, J$ đồng viên)

Tức là $J I$ là phân giác góc $F J E$ . Mặt khác $J I ⊥ J S$ $(J I ⊥ B C, B C ∥ J S)$

Do đó chùm $J (F E I S) = - 1$ , tức $A (B C I S) = - 1$ . Mặt khác chùm $A (B C I S)$ có $B C ∥ A S$ nên $A I$ đi qua trung điểm $M$ của $B C$ . Bổ đề được chứng minh.

Quay trở lại bài toán :

Gọi $R$ là giao của $Y L$ với $A Q$

Theo bổ đề trên ta có $A M, O D, E F$ đồng quy tại $W$ hay $K L, O D, E F$ đồng quy tại $W$ . Mà $X K Y L$ là hình thang cân có $O D$ là trục đối xứng, lại có $O D$ cắt $K L$ ở $W$ nên $W$ cũng thuộc $X Y$ .

Ta có $(A W K L) = - 1$ (hàng điều hòa về đường tròn) nên $X (A W K L) = X (R Y K L) = - 1$ , mà $X K ∥ R Y$ nên $L$ là trung điểm của $R Y$ , tức $Y L = L R$

Theo định lí $T ha l es$ $\frac{Y L}{P M} = \frac{A L}{A M} = \frac{L R}{M Q} \Rightarrow M P = M Q$ , tức $M$ là trung điểm của $P Q$ .

Ta có điều phải chứng minh.

Geometry

Đề bài

Mô tả