System of Equation

Bài toán : Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}x+\sqrt{x^2-3}=y+\sqrt{y^2+3}\\ x^3-y^3=3x-3y+4\end{array}$

Lời giải :

Nhận xét rằng $\sqrt{y^2+3}>|y|\ge -y\Rightarrow y+\sqrt{y^2+3}>0\Rightarrow x+\sqrt{x^2-3}>0$

Nếu $x<0$ thì $x>-\sqrt{x^2-3}\Rightarrow x^2<x^3-3$, mâu thuẫn. Do vậy phải có $x>0$.

Đặt $\sqrt{x^2-3}=a\ge 0\Rightarrow x=\sqrt{a^2+3}$ (vì $x>0$)

Khi đó phương trình đầu viết thành : $a+\sqrt{a^2+3}=y+\sqrt{y^2+3}$.

Kiểm tra được hàm số $f(t)=t+\sqrt{t^2+3}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, chính vì vậy $f(a)=f(y)\iff y=a=\sqrt{x^2-3}\iff x^2-y^2=3$.

Ta được hệ sau $\{\begin{array}{c}{x}^3-y^3=3x-3y+4\\ x^2-y^2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}(x-y)(x^2+xy+y^2-3)=4\\ (x-y)(x+y)=3\end{array}$

Đặt $u=x+y,v=x-y$. Chú ý rằng $y=\sqrt{x^2-3}\ge 0$ nên $v<u$. Để ý $xy=\frac{u^2-v^2}{4}$

Ta được hệ mới $\{\begin{array}{c}v\left(u^2-\frac{u^2-v^2}{4}-3\right)=4\\ uv=3\end{array}\iff \{\begin{array}{c}v(3u^2+v^2-12)=16\\ uv=3\end{array}\iff \{\begin{array}{c}uv=3\\ v^4-12v^3-16v-27=0(1)\end{array}$

Ta giải phương trình $(1)$ : $\left(1\right)\iff (v-1)(v^3+v^2-11v-27)=0$

Phương trình này có một nghiệm $v=1$. Xét phương trình bậc ba $v^3+v^2-11v-27=0(\ast )$

Đặt $v=w-\frac{1}{3}$, khi đó $\left(\ast \right)\iff {\left(w-\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(w-\frac{1}{3}\right)}^2-11\left(w-\frac{1}{3}\right)-27=0\iff w^3-\frac{34}{3}w-\frac{626}{27}=0$

Theo công thức nghiệm $Cardano$, ta có $w=\sqrt[3]{\frac{313}{27}-\sqrt{\frac{19555}{243}}}+\sqrt[3]{\frac{313}{27}-\sqrt{\frac{19555}{243}}}\Rightarrow v=\sqrt[3]{\frac{313}{27}-\sqrt{\frac{19555}{243}}}+\sqrt[3]{\frac{313}{27}-\sqrt{\frac{19555}{243}}}-\frac{1}{3}>2$

mà $uv=3$ dẫn đến $u<\frac{2}{3}$, điều này là mâu thuẫn vì $v<u$.

Như vậy ta chỉ nhận $v=1,u=3$. Từ đó tìm được $x=2,y=1$.

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là $(x,y)=(2,1)$