Geometry

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AD,BE,CF$ là các đường cao. Gọi $P$ là giao điểm của $BC,EF$. Đường thẳng qua $D$ song song với $EF$ cắt $AB,AC$ tại $Q,R$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng $P,Q,R,M$ đồng viên.

Lời giải :

Ta có $AD,BE,CF$ đồng quy nên $(PDBC)=-1$ (hàng điều hòa tứ giác toàn phần)

Nên theo hệ thức $Maclaurin$ : $\overline{DM}.\overline{DP}=\overline{DB}.\overline{DC}$

Mặt khác vì $QR\parallel EF\Rightarrow \widehat{RQB}=\widehat{EFA}=\widehat{ECB}$

Suy ra $B,Q,C,R$ đồng viên, từ đó $\overline{DB}.\overline{DC}=\overline{DQ}.\overline{DR}$

Như vậy $\overline{DQ}.\overline{DR}=\overline{DM}.\overline{DP}$

Dẫn đến $P,Q,R,M$ đồng viên.