Phương trình hàm trên tập số thực

PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP SỐ THỰC

[Mọi người click vào số thự tự bài để xem đáp án nha]

Bài 1 : Tìm tất cả các hàm số $\mathbb{R}\to \setminus \left\{0,1\right\}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f\left(x\right)+f\left(\frac{x-1}{x}\right)$$=1+x\forall x\in \mathbb{R}\setminus \left\{0,1\right\}$

Bài 2 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f\left(f(x+y)f(x-y)\right)=x^2-yf(y)\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Bài 3 : Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn hệ :

$$\{\begin{array}{c}f(3x-1)+g(6x-1)=3x\\ f(x+1)+x^{2}g(2x+3)=2x^2+7\end{array}$$

Bài 4 : Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn hệ :

$$\{\begin{array}{c}f(2x-1)+g(1-x)=x+1\\ f\left(\frac{1}{x+1}\right)+2g\left(\frac{x}{2x+2}\right)=3\end{array}$$

Bài 5 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}(x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y)=8xy(x^4-y^4)\forall x,y\in \mathbb{R}\\ f\left(\frac{30}{4}\right)=2010\end{array}$$

Bài 6 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f((x-y{)}^2)=f^2(x)-2xf(y)+y^2$$

Bài 7 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x^2-y^2)=(x-y)\left(f(x)+f(y)\right),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Bài 8 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$xf(x)-yf(y)=(x-y)f(x+y),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Bài 9 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x^2)-f(y^2)=(x+y)\left(f(x)-f(y)\right),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Bài 10 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện :

$$f(x^2-y)=xf(x)-f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 11 Tìm tất cả các hàm số $f:{\mathbb{R}}^{+}\to {\mathbb{R}}^{+}$ và thỏa mãn :

$$f(x)f(yf(x))=f(y+f(x)),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 12 Tìm các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f\left(f(y+f(x))\right)=f(x+y)+f(x)+y,\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 13 Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và $f$ không đồng nhất $0$, thỏa mãn :

$$2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

a) Chứng minh rằng $f(x)\ge -1,\forall x\in \mathbb{R}$

b) Cho biết $f(3)=0$. Tính $f(1992),f(1995),f(1998)$.

Bài 14 Tìm hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(2f(x)-y)=2x+y+6,\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 15 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x^2+f(y))=y+xf(x),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 16 Tìm hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(f(x)+y)=f(x+y)+xf(y)-xy-x+1,\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 17 Tìm hàm số $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn với mọi số thực $x$ :

$$f(g(x))=x^2(1)$$ và $$g(f(x))=x^3(2)$$

Bài 18 Tìm hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x^2+f(y))=y+f^2(x)(1)$$

Bài 19 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(f(x)+y^2)=f^2(x)-f(x)f(y)+xy+x,\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 20 Tìm hàm số $f:{\mathbb{R}}^{+}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(1)=\frac{1}{2}$$ và $f(xy)$$=f(x)f\left(\frac{3}{y}\right)+f(y)f\left(\frac{3}{x}\right),\forall x,y\in {\mathbb{R}}^{+}(1)$

Bài 21 Cho $\alpha ,\beta$ là các số thực dương. Tìm hàm số $f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$ thỏa mãn :

$f(x)f(y)$$=y^{\alpha }f\left(\frac{x}{2}\right)+x^{\beta }f\left(\frac{y}{2}\right),\forall x,y$$>2(1)$

Bài 22 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x+f(y))=2f(xf(y)),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 23 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(xf(y)+y)+f(xy+x)=f(x+y)+2xy,\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 24 Tìm hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x-f(y))=f(f(y))-2xf(y)+f(x)-2,\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 25 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$(x-2)f(y)+f(y+2f(x))=f(x+yf(x)),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 26 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x+f(y))=f^2(y)+2xf(y)+f(-x),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 27 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x+yf(x))=f(f(x))+xf(y),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 28 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(xy+f(x))=xf(y)+f(x),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Bài 29 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(f(x)+f(y))=2y+f(x-y),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 30 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x+f(y))-f(x)=(x+f(y){)}^4-x^4,\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 31 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(xy+f(x))+f(x-yf(x))=2x,\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 32 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x^3+y^3)=x^{2}f(x)+y^{2}f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 33 Tìm hàm số $f:{\mathbb{R}}^{+}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x+y)$$=x^{2}f\left(\frac{1}{x}\right)+y^{2}f\left(\frac{1}{y}\right),\forall x,y\in {\mathbb{R}}^{+}(1)$

Bài 34 Tìm tất cả các hàm số $f:\left(0,+\infty \right)\to \left(0,+\infty \right)$ và thỏa mãn :

$$yf(yf(x))=f(f(x)),\forall x,y\in \left(0,+\infty \right)(1)$$

Bài 35 Tìm tất cả các hàm số $f:{\mathbb{R}}^{+}\to {\mathbb{R}}^{+}$ thỏa mãn điều kiện :

$$f\left(\frac{f(x)}{y}\right)=yf(y)f(f(x)),\forall x,y\in {\mathbb{R}}^{+}(1)$$

Bài 36 Tìm hàm $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(f(x)+2f(y))=f(x)+f(y)+y,\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 37 Tìm hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x+y^3)+2012y^2=f(x)+y^{2}f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Bài 38 Tìm tất cả các hàm số $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x+f(y))=-3f(x)+4x+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Bài 39 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x^{2015}+2014y)=f(2x+y)+f(3x+2013y)+x^{2015}-5x-2015,\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Bài 40 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f((1+x)f(y))=yf(1+f(x)),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 41 Tìm hàm số $f:\mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}\to \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}$ thỏa mãn :

$$f(x)+f(y)=f(xyf(x+y)),\forall x,y,x+y\ne 0(1)$$

Bài 42 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(xy)+f(x)+f(y)=f(x)f(y)+f(x+y),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 43 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x+y)+f(xy)=f(x)+f(y)+f(x)f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 44 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(xf(y))+y+f(x)=f(x+f(y))+yf(x),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 45 Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$$f(xy)+f(x-y)+f(x+y+1)=xy+2x+1,\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 46 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}\to \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}$ và thỏa mãn :

$$f(x^2+y)=f^2(x)+\frac{f(xy)}{f(x)},\forall x,y\ne 0,x^2+y\ne 0(1)$$

Bài 47 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x^2+y+f(y))=2y+f^2(x),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 48 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(f(y)+x^2+1)+2x=y+f^2(x+1),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 49 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x+xy+f(y))$$=\left(f(x)+\frac{1}{2}\right)\left(f(y)+\frac{1}{2}\right),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$

Bài 50 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$\left(f(x)-f(y)\right)f\left(\frac{x+y}{x-y}\right)$$=f(x)+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R},x$$\ne y(1)$

Bài 51 Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x+y)+f(x^2+f(y))=f^2(x)+f(x)+f(y)+y,\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 52 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x+y)+xf(y)=f(f(x)+y)+yf(x),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 53 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4yf(x),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 54 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x^3+y+f(y))=2y+x^{2}f(x),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 55 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(f(x)+y)=f(x^4-y)+8yf(x)\left[f^2(x)+y^2\right],\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 56 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2,\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 57 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(xf(y))+f(f(x)+f(y))=yf(x)+f(x+f(y)),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 58 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(xf(x)+2y)=f(x^2)+f(y)+x+y-1,\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Bài 59 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$xf(x+xy)=xf(x)+f(x^2)f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Bài 60 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$y^{2}f(x)+x^{2}f(x)+xy=xyf(x+y)+x^2+y^2,\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$