Geometry

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$, $D$ là điểm tiếp xúc của $(I)$ với $BC$. Gọi $M$ là một điểm thuộc đoạn $AD$. Đường thẳng $BM,CM$ theo thứ tự cắt $(I)$ tại $B_1,B_2;C_1,C_2$ sao cho $B{B}_1<B{B}_2,C{C}_1<C{C}_2$. Chứng minh rằng $BC,B_1{C}_1,B_2{C}_2$ đồng quy.

Lời giải :

Gọi $E,F$ là hai tiếp điểm với $(I)$ của $CA,AB$.

Gọi $L$ là giao điểm của $EF,BC$. Gọi $W$ là giao điểm của $AD$ với $(I)$. Dễ thấy $WFDE$ là một tứ giác điều hòa nên $LW$ là tiếp tuyến của $(I)$. Gọi giao điểm của đường thẳng $L{B}_1$ với $AD,(I)$ lần lượt là $X,C_0$.

Ta có $(LX{B}_1{C}_0)=-1$ (hàng điều hòa về đường tròn) $\Rightarrow M(LDB{C}_0)=-1(1)$

Mặt khác dễ thấy $AD,BE,CF$ đồng quy tại điểm $Gergonne$ của tam giác $ABC$ nên $(LDBC)=-1$ (hàng điều hòa tứ giác toàn phần), do đó $\Rightarrow M(LDB{C}_1)=-1(1)$

Từ $(1)(2)$ suy ra $M(LDB{C}_0)=M(LDB{C}_1)\Rightarrow M{C}_0\equiv M{C}_1$

Mà $C_0\in \left(I\right),C_1\in \left(I\right)\Rightarrow C_0\equiv C_1$, tức là $B_1{C}_1$ đi qua $L$.

Tương tự $B_2{C}_2$ đi qua $L$

Kết luận : $BC,B_1{C}_1,B_2{C}_2$ đồng quy.