Geometry

Bài toán (IMO Shortlist 1994) Cho tam giác $ABC$ có $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm trên $BC,CA,AB$ của đường tròn nội tiếp tam giác. Gọi $X$ là một điểm bên trong tam giác $ABC$ sao cho đường tròn nội tiếp tam giác $XBC$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$, tiếp xúc với $XB,XC$ theo thứ tự tại $Y,Z$. Chứng minh $E,F,Y,Z$ đồng viên.

Lời giải :

Gọi $J,J^{\prime }$ lần lượt là giao điểm của $EF,YZ$ với $BC$. Ta chứng minh $J\equiv J^{\prime }$.

Dễ thấy $AD,BE,CF$ đồng quy (tại điểm $Gergonne$ của tam giác $ABC$) nên $(JDBC)=-1$ (hàng điều hòa tứ giác toàn phần)

Tương tự $(J^{\prime }DBC)=-1$, suy ra $(JDBC)=(J^{\prime }DBC)$. Suy ra $J\equiv J^{\prime }$.

Từ đó, $JD$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn nội tiếp tam giác $ABC,XBC$ nên : $JE.JF=J{D}^2=JY.JZ$

Suy ra các điểm $E,F,Y,Z$ đồng viên.