Functional Equation

Bài toán  (Đề thi Olympic 30-4 chính thức môn toán 10 năm 2012) 

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn :

$$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y),\forall x,y\in \mathbb{Q}(1)$$

Lời giải :

Trong $(1)$ cho $x=y=0$ được $f(0)=0$

Trong $(1)$ cho $x=0$ được $f(-y)=f(y),\forall y\in \mathbb{Q}(@)$

Trong $(1)$ cho $x=y$ được $f(2x)=4f(x),\forall x\in \mathbb{Q}$

Trong $(1)$ cho $x=2y$ được $f(3y)+f(y)=2f(y)+2f(2y),\forall y\in \mathbb{Q}\iff f(3y)=9f(y),\forall y\in \mathbb{Q}$

Ta dự đoán $f(nx)=n^{2}f(x),\forall x\in \mathbb{Q},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Ta chứng minh khẳng định này bằng quy nạp.

Với $n=1$ thì theo trên khẳng định đúng.

Gỉa sử khẳng định đó đúng đến $n$. Xét với $n+1$ :

$$f((n+1)x)=f(nx+x)=-f(nx-x)+2f(x)+2f(nx)=-(n-1{)}^{2}f(x)+2f(x)+2n^{2}f(x)=(n+1{)}^{2}f(x)$$

Theo nguyên lí quy nạp, ta có $f(nx)=n^{2}f(x),\forall x\in \mathbb{Q},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }(2)$

 

Tiếp theo,

Trong $(1)$ cho $x=y=1$ được $f(2)=4f(1)$. Ta dự đoán $f(n)=n^{2}f(1)$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Với $n=1$,$n=2$ thì khẳng định đúng. Gỉa sử khẳng định đúng đến $n$, xét với $n+1$ :

$$f(n+1)=-f(n-1)+2f(n)+2f(1)=-(n-1{)}^2.f(1)+2n^2.f(1)+2f(1)=(n+1{)}^{2}f(1)$$

Theo nguyên lí quy nạp ta có $f(n)=n^{2}f(1),\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Kết hợp với $(@)$ ta có $f(n)=f(1)n^2,\forall n\in \mathbb{Z}(3)$

 

Trong $(2)$ cho $x=\frac{m}{n}\in \mathbb{Q}$ ta được :

$f\left(n.\frac{m}{n}\right)$$=n^{2}f\left(\frac{m}{n}\right)$$\Rightarrow f\left(\frac{m}{n}\right)$$=\frac{f(m)}{n^2}$

Trong $(3)$ cho $x=m$ được $f(m)=m^{2}f(1)$

Suy ra $f\left(\frac{m}{n}\right)=\frac{m^{2}f(1)}{n^2}={\left(\frac{m}{n}\right)}^{2}f(1)$

Dẫn đến $f(x)=a{x}^2,\forall x\in \mathbb{Q},a\in \mathbb{R}$. Thử lại thỏa mãn.

Kết luận : Hàm số thỏa mãn đề bài là $f(x)=a{x}^2,\forall x\in \mathbb{Q},a=const$