1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán : Cho là số nguyên dương thỏa mãn . Chứng minh rằng chia hết cho . Lời giải : Dễ thấy là số nguyên dương lẻ. Gọi là ước nguyên tố bé nhất của . Gọi là nghịch đảo của modulo . Khi đó thì . Ta có Dễ dàng thấy nên theo định […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2011 THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai) Giải hệ phương trình Lời giải : Đặt Thì Từ đó ta có hệ phương trình Từ hai phương trình sau được thế vào phương trình đầu : Vì nên . Khi đó . Từ đó dẫn đến […]
Bài toán : Trên cạnh của tam giác , lấy một điểm thỏa mãn đồng thời và . Gọi là chân đường vuông góc hạ từ xuống . Gọi là trung điểm của và là giao điểm của tia với . a) Chứng minh b) Chứng minh rằng là phân giác góc . Lời giải : […]
Bài toán : (IMO Shortlist 2008) Cho là số nguyên dương, là số nguyên tố và các số nguyên thỏa mãn : . Chứng minh rằng . Lời giải : Nếu có hai trong ba số trên bằng nhau thì cả ba số đều bằng nhau. Nếu khác nhau đôi một. Ta có Nếu lẻ […]
Bài toán : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương phương trình luôn có nghiệm nguyên. Lời giải : Kí hiệu là một nghiệm nguyên của phương trình nói trên tại . Nếu thì phương trình có nghiệm Nếu thì phương trình có nghiệm Gỉa sử phương trình trên có nghiệm tại là , […]
Bài toán (THTT số 437) Chứng minh rằng với mọi tam giác , ta có : Lời giải : Chú ý công thức Suy ra Tương tự với các hệ thức còn lại. Mặt khác, ta có : Tương tự với các hệ thức còn lại. Từ đó ta quy về chứng minh BĐT đại […]
Bài toán : Tìm các hàm số thỏa mãn hệ với mọi số thực . Lời giải : Đặt thì . Khi đó . Kết hợp với , ta được hệ phương trình hàm : Ta có : Do đó và . Thử lại ta thấy hai hàm này thỏa mãn hệ. Kết luận : Nếu […]
Bài toán : Tìm các hàm số thỏa mãn hệ với mọi số thực . Lời giải : Ta có thể viết thành : Đặt thì . Khi đó Từ đó ta thu được hệ phương trình hàm : Kết luận : Các hàm số cần tìm thỏa mãn đề bài là
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2010 THPT Chuyên Quang Trung, Bình Phước) Tìm tất cả các hàm số thỏa : 1. 2. Lời giải : Đặt ta được Khi đó ta được phương trình hàm : Suy ra Mặt khác trong phương trình hàm ban đầu, cho được , vậy . Mặt […]
Bài toán : Tìm hàm số thỏa mãn : Lời giải : Trong thay bởi và thay bởi , được : Từ ta được : Nếu . Cho được . Thử lại không thỏa mãn. Nếu . Thay vào : Từ đó hoặc . Thử lại cả hai hàm này đều thỏa mãn. Kết luận : Các hàm số […]
Bài toán (Bangladesh MO 2012) Tìm hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Trong cho được . Trong cho : Trong thay bởi : Từ suy ra Với là hằng số bất kì. Kết hợp với ta có . Thử lại ta thấy thỏa mãn. Kết luận : Hàm số cần tìm thỏa mãn […]
Bài toán (Romania 2002) Cho là các số nguyên dương với . Chứng minh rằng phương trình không có nghiệm nguyên dương. Lời giải : Từ đề bài dễ thấy cùng tính chẵn lẻ. Nếu thì từ phương trình phải có là một lũy thừa của . Bằng cách chia hai vế cho , ta […]
Bài toán (Irish MO 1995) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Đặt thì , thay vào phương trình đề bài : . Trong cho ta được : . Kết hợp ta có Trong thay bởi , được : Từ ta có . Mà nên . Kéo theo với […]
Bài toán (Thi HSG TpHCM năm 2004-2005) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Đặt . Thay vào phương trình hàm ban đầu : Trong cho ta được Kết hợp với : Mà nên . Kéo theo với là hằng số tùy ý. Thử lại thoả mãn. Kết luận : Hàm số […]
Bài toán (Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 10 năm 2003) : Cho hai đường tròn đồng tâm và với . Tia lần lượt cắt tại . Chứng minh rằng Lời giải : Bổ đề : Cho tứ giác nội tiếp đường tròn . Khi đó và . Chứng minh bổ đề : Kẻ dây […]
Bài toán : Giải hệ phương trình Lời giải : Đặt thì . Phương trình trở thành Khi đó . Ta sẽ đưa phương trình trên về dạng đẳng cấp bậc bốn. Để ý rằng nên ta viết : Nếu thì , cặp số này không thỏa , xét . Chia hai vế của cho , ta được : […]
Bài toán : Chứng minh với mọi số nguyên dương , phương trình luôn có nghiệm nguyên , trong đó đều lẻ. Lời giải : Kí hiệu là nghiệm của phương trình tại . Với , phương trình có nghiệm . Gỉa sử là cặp số lẻ là nghiệm của phương trình, ta chứng minh quy […]
Bài toán : Chứng minh rằng với số tự nhiên bất kì, phương trình luôn có nghiệm nguyên dương thỏa . Lời giải : Xét chẵn, đặt . Để ý đẳng thức đại số . Do đó nếu ta chọn . Thì với , sẽ là nghiệm của phương trình và thỏa mãn . Mặt khác với , […]
Bài toán : Cho các số dương . Chứng minh bất đẳng thức Lời giải : Nhận thấy các biến số nằm ở mẫu số của các phân thức, ta tìm cách chuyển biến lên tử bằng cách đặt ẩn phụ : . Khi đó vế trái trở thành : Đây là điều phải chứng […]
Bài toán (CĐT trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội 2010-2011) : Giải hệ phương trình Lời giải : Viết phương trình dưới dạng phương trình bậc hai ẩn : Phương trình này có nghiệm nếu Viết phương trình dưới dạng phương trình bậc hai ẩn : Phương trình này có nghiệm nếu Xét hàm số , hàm […]