Functional Equation

Bài toán (Irish MO 1995) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$xf(x)-yf(y)=(x-y)f(x+y),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Lời giải :

Đặt $g(x)=f(x)-f(0)$ thì $g(0)=0$, thay vào phương trình đề bài :

$x\left(g(x)+f(0)\right)-y\left(g(y)+f(0)\right)$$=(x-y)\left(g(x+y)+f(0)\right),\forall x,y\in \mathbb{R}$$\iff xg(x)-yg(y)$$=(x-y)g(x+y),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$.

Trong $(1)$ cho $y=-x$ ta được :

$xg(x)+xg(-x)=2xg(0),\forall x\in \mathbb{R}\iff g(-x)=-g(x),\forall x\ne 0$. Kết hợp $g(0)=0$ ta có $g(-x)=-g(x),\forall x\in \mathbb{R}$

Trong $(1)$ thay $y$ bởi $-y$, được :

$xg(x)+yg(-y)$$=(x+y)g(x-y),\forall x,y\in \mathbb{R}$$\Rightarrow xg(x)-yg(y)$$=(x+y)g(x-y),\forall x,y\in \mathbb{R}(2)$

Từ $(1)(2)$ ta có

$(x-y)g(x+y)$$=(x+y)g(x-y),\forall x,y\in \mathbb{R}$$\Rightarrow \frac{g(x+y)}{x+y}$$=\frac{g(x-y)}{x-y},\forall x$$\ne y$$\Rightarrow g(x)$$=cx,\forall x$$\ne 0$.

Mà $g(0)=0$ nên $g(x)=cx,\forall x\in \mathbb{R}$.

Kéo theo $f(x)=g(x)+f(0)=cx+f(0)=cx+d$ với $c,d$ là các hằng số tùy ý. Thử lại ta thấy thỏa mãn.

Kết luận : Hàm số cần tìm là $f(x)=cx+d,\forall x\in \mathbb{R}$ với $c,d$ là các hằng số tùy ý.