Functional Equation

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2010 THPT Chuyên Quang Trung, Bình Phước) 

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa :

1. $$(x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y)=8xy(x^4-y^4),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

2. $$f\left(\frac{30}{4}\right)=2010$$

Lời giải :

Đặt $u=x+y,v=x-y$ ta được $\{\begin{array}{ccc}u+v=2x& & \\ u-v=2y& & \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}xy=\frac{(u+v)(u-v)}{4}\\ x^4-y^4={\left(\frac{u+v}{2}\right)}^4-{\left(\frac{u-v}{2}\right)}^4=\frac{uv(u^2+v^2)}{2}\end{array}$

Khi đó ta được phương trình hàm :

$vf(u)-uf(v)$$=8.\frac{(u+v)(u-v)}{4}.\frac{uv(u^2+v^2)}{2}$$=uv(u^2+v^2)(u^2-v^2)$$=uv(u^4-v^4),\forall u,v\in \mathbb{R}$$\iff \frac{f(u)}{u}-\frac{f(v)}{v}$$=u^4-v^4,\forall u,v$$\ne 0$$\iff \frac{f(u)}{u}-u^4$$=\frac{f(v)}{v}-v^4,\forall u,v$$\ne 0$

Suy ra $\frac{f(x)}{x}-x^4=c=const,\forall x\ne 0\iff f(x)=x^5+cx,\forall x\ne 0$

Mặt khác trong phương trình hàm ban đầu, cho $x=y$ được $f(0)=0$, vậy $f(x)=x^5+cx,\forall x\in \mathbb{R}$.

Mặt khác $f\left(\frac{30}{4}\right)=2010\iff {\left(\frac{30}{4}\right)}^5+c.\frac{30}{4}=2010\iff c=\frac{4}{30}\left(2010-\frac{30^5}{4^5}\right)$.

Kết luận : Hàm số cần tìm là $f(x)=x^5+\frac{4}{30}\left(2010-\frac{30^5}{4^5}\right)x,\forall x\in \mathbb{R}$

Nhận xét : 

Cách làm trên dựa vào nhận xét : Nếu $f(x)=f(y),\forall x,y\in D:x\ne y$ thì $f$ là hàm hằng trên $D$.

Phương pháp này gọi là phương pháp phân li biến số.