Functional Equation

Bài toán : Tìm hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn :

$$f\left((x-y{)}^2\right)=f^2(x)-2xf(y)+y^2(1)$$

Lời giải :

Trong $(1)$ thay $x$ bởi $y$ và thay $y$ bởi $x$, được :

$$f\left((y-x{)}^2\right)=f^2(y)-2yf(x)+x^2(2)$$

Từ $(1)(2)$ ta được :

$f^2(y)-2yf(x)+x^2$$=f^2(x)-2xf(y)+y^2,\forall x,y\in \mathbb{R}$$\iff {\left(f(x)+y\right)}^2$$={\left(f(y)+x\right)}^2,\forall x,y\in \mathbb{R}$

Nếu $f(x)+y=-f(y)-x\iff f(x)+f(y)=x+y$. Cho $x=y$ được $2f(x)=-2x,\forall x\in \mathbb{R}\iff f(x)=-x,\forall x\in \mathbb{R}$. Thử lại không thỏa mãn.

Nếu $f(x)+y=f(y)+x,\forall x,y\in \mathbb{R}\iff f(x)-x=f(y)-y,\forall x,y\in \mathbb{R}\iff f(x)-x=c=const,\forall x\in \mathbb{R}\iff f(x)=x+c,\forall x\in \mathbb{R}$.

Thay vào $(1)$ : $(x-y{)}^2+c=(x+c{)}^2-2x(y+c)+y^2\iff c^2=c\iff c\in \left\{0,1\right\}$

Từ đó $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$ hoặc $f(x)=x+1,\forall x\in \mathbb{R}$. Thử lại cả hai hàm này đều thỏa mãn.

Kết luận : Các hàm số cần tìm là $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$ $;$ $f(x)=x+1,\forall x\in \mathbb{R}$