System of Equation

Bài toán : Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}(x-y{)}^4=13x-4(1)\\ \sqrt{x+y}+\sqrt{3x-y}=\sqrt{2}(2)\end{array}$

Lời giải :

Đặt $\sqrt{x+y}=a\ge 0,\sqrt{3x-y}=b\ge 0$ thì $x=\frac{a^2+b^2}{4},x-y=\frac{b^2-a^2}{2}$. Phương trình $(2)$ trở thành $a+b=\sqrt{2}$

Khi đó $\left(1\right)\iff {\left(\frac{b^2-a^2}{2}\right)}^4=13.\frac{a^2+b^2}{4}-4\iff \frac{(a-b{)}^4(a+b{)}^4}{16}=\frac{13}{4}(a^2+b^2)-4\iff \frac{(a-b{)}^4}{4}=\frac{13}{4}(a^2+b^2)-4\iff (a-b{)}^4=13(a^2+b^2)-16$.

Ta sẽ đưa phương trình trên về dạng đẳng cấp bậc bốn.

Để ý rằng $(a+b{)}^2=2,(a+b{)}^4=4$ nên ta viết :

$(a-b{)}^4$$=\frac{13}{2}.(a^2+b^2).2-4.4$$=\frac{13}{2}(a^2+b^2)(a+b{)}^2-4(a+b{)}^4$$\iff 3a^4+2a^{3}b-34a^2{b}^2+2a{b}^3+3b^4$$=0(\ast )$

Nếu $b=0$ thì $a=\sqrt{2}$, cặp số này không thỏa $(\ast )$, xét $b\ne 0$. Chia hai vế của $(\ast )$ cho $b^4$, ta được :

$3{\left(\frac{a}{b}\right)}^4+2.{\left(\frac{a}{b}\right)}^3-2.{\left(\frac{a}{b}\right)}^2+2.\left(\frac{a}{b}\right)+3$$=0$$\iff 3t^4+2t^3-2t^2+2t+3$$=0(t$$=\frac{a}{b})$$\iff (t-3)(3t-1)(t^2+4t+1)$$=0$$\iff t\in \left\{3,1/3\right\}$

Nếu $t=3$ ta có hệ $\{\begin{array}{c}a+b=\sqrt{2}\\ a=3b\end{array}\iff \{\begin{array}{c}a=\frac{3\sqrt{2}}{4}\\ b=\frac{\sqrt{2}}{4}\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x+y=9/8\\ 3x-y=1/8\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=5/16\\ y=13/16\end{array}$

Nếu $t=1/3$ ta có hệ $\{\begin{array}{c}a+b=\sqrt{2}\\ 3a=b\end{array}\iff \{\begin{array}{c}b=\frac{3\sqrt{2}}{4}\\ a=\frac{\sqrt{2}}{4}\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x+y=1/8\\ 3x-y=9/8\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=5/16\\ y=-3/16\end{array}$

Hai cặp số này thỏa mãn hệ.

Kết luận : Hệ đã cho có nghiệm $\left(x,y\right)=\left(5/16,13/16\right),\left(5/16,-3/16\right)$