Bài toán (Romania 2002) Cho $k,n$ là các số nguyên dương với $n>2$. Chứng minh rằng phương trình \[x^n-y^n=2^k\] không có nghiệm nguyên dương. Lời giải : Từ đề bài dễ thấy $x,y$ cùng tính chẵn lẻ. Nếu $gcd(x,y)=d>1$ thì từ phương trình phải có $d$ là một lũy thừa của $2$. Bằng cách chia hai vế cho $d^n$, ta hoàn toàn có thể giả sử $gcd(x,y)=1$, lúc này $x,y$ cùng lẻ. Nếu $n$ lẻ, thì : \[x^{n}-y^{n}=2^{k}\Leftrightarrow (x-y)\left ( x^{n-1}+x^{n-2}y+...+y^{n-1} \right )=2^{k}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x-y=2^t\\ x^{n-1}+x^{n-2}y+...+y^{n-1}=2^{k-t} \end{matrix}\right.(t\in \mathbb{N})\] Ta có $2^{k-t}=x^{n-1}+x^{n-2}y+...+y^{n-1}\equiv \underset{n}{\underbrace{1+1+...+1}}\equiv 1\;(mod\;2)$ Suy ra $k=t$, tức $x^{n-1}+x^{n-2}y+...+y^{n-1}=1$ và đây là điều mâu thuẫn. Vậy phải có $n$ chẵn. Đặt $n=2m,\;\;\left ( m\in \mathbb{Z}^{+},m>1 \right )$ Ta được $x^{2m}-y^{2m}=2^k\Leftrightarrow (x^m-y^m)(x^m+y^m)=2^k\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^m-y^m=2^a\\ x^m+y^m=2^b \end{matrix}\right.\left ( a,b\in \mathbb{N},a<b \right )$ Suy ra $(x^m-y^m)+(x^m+y^m)=2^a+2^b\Leftrightarrow x^{m}=2^{a-1}(1+2^{b-a})$ Do $x$ lẻ nên $a=1$, kéo theo $x^m-y^m=2\Leftrightarrow (x-y)(x^{m-1}+x^{m-2}y+...+y^{m-1})=2$ Điều này là không thể đạt được vì $m>1$. Kết luận : Phương trình không có nghiệm nguyên dương.

Diophantine Equation

Bài toán (Romania 2002) Cho $k, n$ là các số nguyên dương với $n > 2$ . Chứng minh rằng phương trình

$x^{n} - y^{n} = 2^{k}$

không có nghiệm nguyên dương.

Lời giải :

Từ đề bài dễ thấy $x, y$ cùng tính chẵn lẻ. Nếu $g c d (x, y) = d > 1$ thì từ phương trình phải có $d$ là một lũy thừa của $2$ . Bằng cách chia hai vế cho $d^{n}$ , ta hoàn toàn có thể giả sử $g c d (x, y) = 1$ , lúc này $x, y$ cùng lẻ.

Nếu $n$ lẻ, thì :

$x^{n} - y^{n} = 2^{k} \Leftrightarrow (x - y) (x^{n - 1} + x^{n - 2} y + ... + y^{n - 1}) = 2^{k} \Rightarrow {x - y = 2^{t} x^{n - 1} + x^{n - 2} y + ... + y^{n - 1} = 2^{k - t} (t \in N)$

Ta có $2^{k - t} = x^{n - 1} + x^{n - 2} y + ... + y^{n - 1} \equiv n 1 + 1 + ... + 1 \equiv 1 (m o d 2)$

Suy ra $k = t$ , tức $x^{n - 1} + x^{n - 2} y + ... + y^{n - 1} = 1$ và đây là điều mâu thuẫn.

Vậy phải có $n$ chẵn. Đặt $n = 2 m, (m \in Z^{+}, m > 1)$

Ta được $x^{2 m} - y^{2 m} = 2^{k} \Leftrightarrow (x^{m} - y^{m}) (x^{m} + y^{m}) = 2^{k} \Rightarrow {x^{m} - y^{m} = 2^{a} x^{m} + y^{m} = 2^{b} (a, b \in N, a < b)$

Suy ra $(x^{m} - y^{m}) + (x^{m} + y^{m}) = 2^{a} + 2^{b} \Leftrightarrow x^{m} = 2^{a - 1} (1 + 2^{b - a})$

Do $x$ lẻ nên $a = 1$ , kéo theo $x^{m} - y^{m} = 2 \Leftrightarrow (x - y) (x^{m - 1} + x^{m - 2} y + ... + y^{m - 1}) = 2$

Điều này là không thể đạt được vì $m > 1$ .

Kết luận : Phương trình không có nghiệm nguyên dương.

Diophantine Equation

Đề bài

Mô tả