Bài toán : Tìm các hàm số $f,g$ thỏa mãn hệ \[\left\{\begin{matrix} f(3x-1)+g(6x-1)=3x\;\;(1)\\ f(x+1)+x^2g(2x+3)=2x^2+7\;\;(2) \end{matrix}\right.\] với mọi số thực $x$. Lời giải : Đặt $3x-1=t+1$ thì $x=\dfrac{t+2}{3}$. Khi đó $\left ( 1 \right )\Leftrightarrow f(t+1)+g\left ( 6.\dfrac{t+2}{3}-1 \right )=3.\dfrac{t+2}{3}\Leftrightarrow f(t+1)+g(2t+3)=t+2\Leftrightarrow f(x+1)+g(2x+3)=x+2$. Kết hợp với $(2)$, ta được hệ phương trình hàm : \[\left\{\begin{matrix} f(x+1)+g(2x+3)=x+2\\ f(x+1)+x^2g(2x+3)=2x^2+7 \end{matrix}\right.\] Ta có : \[D=\begin{vmatrix} 1\;\;\;\;\;1\\ 1\;\;\;\;\;x^2 \end{vmatrix},D_{g}=\begin{vmatrix} 1\;\;\;\;\;\;\;x+2\\ 1\;\;\;\;\;2x^2+7 \end{vmatrix},D_f=\begin{vmatrix} x+2\;\;\;\;\;\;\;1\\ 2x^2+7\;\;\;\;\;x^2 \end{vmatrix}\] Do đó $f(x)=\dfrac{D_f}{D}=\dfrac{(x+2)x^2-(2x^2+7)}{x^2-1}=\dfrac{x^3-7}{x^2-1}\;\forall x\neq \pm 1$ và $g(x)=\dfrac{D_g}{D}=\dfrac{(2x^2+7)-(x+2)}{x^2-1}=\dfrac{2x^2-x+5}{x^2-1}\;\forall x\neq \pm 1$. Thử lại ta thấy hai hàm này thỏa mãn hệ. Kết luận : Nếu $x=1$ thì $\left\{\begin{matrix} f(x)=c_1\\ g(x)=c_2 \end{matrix}\right.(c_1=const,c_2=const)$ Nếu $x=-1$ thì $\left\{\begin{matrix} f(x)=c_1'\\ g(x)=c_2' \end{matrix}\right.(c_1'=const,c_2'=const)$ Nếu $x\neq \pm 1$ thì $\left\{\begin{matrix} f(x)=\dfrac{x^3-7}{x^2-1}\\ g(x)=\dfrac{2x^2-x+5}{x^2-1} \end{matrix}\right.$

System of Functional Equation

Bài toán : Tìm các hàm số $f, g$ thỏa mãn hệ

${f (3 x - 1) + g (6 x - 1) = 3 x (1) f (x + 1) + x^{2} g (2 x + 3) = 2 x^{2} + 7 (2)$

với mọi số thực $x$ .

Lời giải :

Đặt $3 x - 1 = t + 1$ thì $x = \frac{t + 2}{3}$ . Khi đó $(1) \Leftrightarrow f (t + 1) + g (6. \frac{t + 2}{3} - 1) = 3. \frac{t + 2}{3} \Leftrightarrow f (t + 1) + g (2 t + 3) = t + 2 \Leftrightarrow f (x + 1) + g (2 x + 3) = x + 2$ .

Kết hợp với $(2)$ , ta được hệ phương trình hàm :

${f (x + 1) + g (2 x + 3) = x + 2 f (x + 1) + x^{2} g (2 x + 3) = 2 x^{2} + 7$

Ta có :

$D = 11 1 x^{2}, D_{g} = 1 x + 2 12 x^{2} + 7, D_{f} = x + 21 2 x^{2} + 7 x^{2}$

Do đó $f (x) = \frac{D _{f}}{D} = \frac{( x + 2 ) x ^{2} - ( 2 x ^{2} + 7 )}{x ^{2} - 1} = \frac{x ^{3} - 7}{x ^{2} - 1} \forall x \neq = \pm 1$

và $g (x) = \frac{D _{g}}{D} = \frac{( 2 x ^{2} + 7 ) - ( x + 2 )}{x ^{2} - 1} = \frac{2 x ^{2} - x + 5}{x ^{2} - 1} \forall x \neq = \pm 1$ .

Thử lại ta thấy hai hàm này thỏa mãn hệ.

Kết luận :

Nếu $x = 1$ thì ${f (x) = c_{1} g (x) = c_{2} (c_{1} = co n s t, c_{2} = co n s t)$

Nếu $x = - 1$ thì ${f (x) = c_{1}^{'} g (x) = c_{2}^{'} (c_{1}^{'} = co n s t, c_{2}^{'} = co n s t)$

Nếu $x \neq = \pm 1$ thì $⎩ ⎨ ⎧ f (x) = \frac{x ^{3} - 7}{x ^{2} - 1} g (x) = \frac{2 x ^{2} - x + 5}{x ^{2} - 1}$

System of Functional Equation

Đề bài

Mô tả