Diophantine Equation

Bài toán : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ phương trình

$$(x^2+y^2)(u^2+v^2+w^2)=2009^n$$

luôn có nghiệm nguyên.

Lời giải :

Kí hiệu $(x_k,y_k,u_k,v_k,w_k)$ là một nghiệm nguyên của phương trình nói trên tại $n=k$.

Nếu $n=1$ thì phương trình có nghiệm $\left(x_1,y_1,u_1,v_1,w_1\right)=\left(5,4,2,3,6\right)$

Nếu $n=2$ thì phương trình có nghiệm $(x_2,y_2,u_2,v_2,w_2)=(40,9,48,9,4)$

Gỉa sử phương trình trên có nghiệm tại $n$ là $(x_n,y_n,u_n,v_n,w_n)$, đặt $x_{n+2}=41x_n,y_{n+2}=41y_n,u_{n+2}=49u_n,v_{n+2}=49v_n,w_{n+2}=49w_n$ khi đó $(x_{n+2},y_{n+2},u_{n+2},v_{n+2},w_{n+2})$ cũng là một nghiệm của phương trình

Bởi vì :

$\left(x_{n+2}^2+y_{n+2}^2\right)\left(u_{n+2}^2+v_{n+2}^2+w_{n+2}^2\right)$$=41^2\left(x_n^2+y_n^2\right).49^2\left(u_n^2+v_n^2+w_n^2\right)$$=(41.49{)}^2.2009^n$$=2009^{n+2}$

Theo nguyên lí quy nạp phương trình có nghiệm nguyên với mọi $n$ nguyên dương.

Nhận xét : Trong bài này ta đã dùng phương pháp quy nạp theo bước $s$ (cụ thể là $s=2$)

Phát biểu nguyên lí quy nạp theo bước $s$ :

Cho mệnh đề chứa biến $P(n)$ 

Nếu :

1) $P(n_0),P(n_0+1),...,P(n_0+s-1)$ là đúng

2) Với mọi $k\ge n_0$, $P(k)$ đúng kéo theo $P(k+s)$ đúng.

Thì $P(n)$ là đúng $\forall n\ge n_0$

Một số bài toán tương tự :

1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ phương trình $x^2+y^2+z^2=59^n$ luôn có nghiệm nguyên.

2) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ phương trình $x^2+xy+y^2=7^n$ luôn có nghiệm nguyên.