Bài toán : Chứng minh với mọi số nguyên dương $n\geq 2$, phương trình \[\left | x^2-17y^2 \right |=4^n\] luôn có nghiệm nguyên $(x,y)$, trong đó $x,y$ đều lẻ. Lời giải : Kí hiệu $(x_k,y_k)$ là nghiệm của phương trình tại $n=k$. Với $n=2$, phương trình có nghiệm $(x_2,y_2)=(1,1)$. Gỉa sử $(x_n,y_n)$ là cặp số lẻ là nghiệm của phương trình, ta chứng minh quy nạp phương trình cũng có nghiệm $(x_{n+1},y_{n+1}$. Thật vậy, ta có $\left | \left ( \dfrac{x_n+17y_n}{2} \right )^2-17\left ( \dfrac{x_n+y_n}{2} \right )^2 \right |=\left | -4x_n^2+68y_n^2 \right |=4\left | x_n^2-17y_n^2 \right |=4.4^n=4^{n+1}$ Tức là cặp số $\left ( \dfrac{x_n+17y_n}{2},\dfrac{x_n+y_n}{2} \right )$ thỏa mãn phương trình. Ta cũng có $\left | \left ( \dfrac{x_n-17y_n}{2} \right )^2-17\left ( \frac{-x_n+y_n}{2} \right )^2 \right |=\left | -4x_n^2+68y_n^2 \right |=4\left | x_n^2-17y_n^2 \right |=4.4^n=4^{n+1}$ Tức là cặp $\left ( \dfrac{x_n-17y_n}{2},\dfrac{-x_n+y_n}{2} \right )$ cũng thỏa mãn phương trình. Bây giờ ta cần chỉ ra cặp số lẻ thỏa mãn đề bài. Ta có $\dfrac{x_n+17y_n}{2}+\dfrac{x_n-17y_n}{2}=x_n$ là một số lẻ nên $\dfrac{x_n+17y_n}{2},\dfrac{x_n-17y_n}{2}$ khác tính chẵn lẻ. Nếu $\dfrac{x_n+17y_n}{2}$ lẻ thì do $\dfrac{x_n+17y_n}{2}+\dfrac{x_n+y_n}{2}=x_n+9y_n$ chẵn nên $\dfrac{x_n+y_n}{2}$ lẻ, khi đó $\left ( x_{n+1},y_{n+1} \right )=\left ( \dfrac{x_n+17y_n}{2},\dfrac{x_n+y_n}{2} \right )$ là nghiệm của phương trình. Nếu $\dfrac{x_n+17y_n}{2}$ chẵn thì $\dfrac{x_n-17y_n}{2}$ lẻ, do $\dfrac{x_n-17y_n}{2}+\dfrac{-x_n+y_n}{2}=-8y_n$ chẵn nên $\dfrac{-x_n+y_n}{2}$ lẻ. Khi đó $\left ( x_{n+1},y_{n+1} \right )=\left ( \dfrac{x_n-17y_n}{2},\dfrac{-x_n+y_n}{2} \right )$ là nghiệm của phương trình. Theo nguyên lí quy nạp, phương trình có nghiệm $(x,y)$ lẻ với mọi số nguyên dương $n\geq 2$. Bài toán tương tự : Chứng minh với mọi số nguyên dương $n\geq 2$, phương trình $7x^2+y^2=2^n$ luôn có nghiệm nguyên $(x,y)$, trong đó $x,y$ đều lẻ.

Diophantine Equation

Bài toán : Chứng minh với mọi số nguyên dương $n \geq 2$ , phương trình

$x^{2} - 17 y^{2} = 4^{n}$

luôn có nghiệm nguyên $(x, y)$ , trong đó $x, y$ đều lẻ.

Lời giải :

Kí hiệu $(x_{k}, y_{k})$ là nghiệm của phương trình tại $n = k$ . Với $n = 2$ , phương trình có nghiệm $(x_{2}, y_{2}) = (1, 1)$ .

Gỉa sử $(x_{n}, y_{n})$ là cặp số lẻ là nghiệm của phương trình, ta chứng minh quy nạp phương trình cũng có nghiệm $(x_{n + 1}, y_{n + 1}$ .

Thật vậy, ta có $(\frac{x _{n} + 17 y _{n}}{2})^{2} - 17 (\frac{x _{n} + y _{n}}{2})^{2} = - 4 x_{n}^{2} + 68 y_{n}^{2} = 4 x_{n}^{2} - 17 y_{n}^{2} = 4. 4^{n} = 4^{n + 1}$

Tức là cặp số $(\frac{x _{n} + 17 y _{n}}{2}, \frac{x _{n} + y _{n}}{2})$ thỏa mãn phương trình.

Ta cũng có $(\frac{x _{n} - 17 y _{n}}{2})^{2} - 17 (\frac{- x _{n} + y _{n}}{2})^{2} = - 4 x_{n}^{2} + 68 y_{n}^{2} = 4 x_{n}^{2} - 17 y_{n}^{2} = 4. 4^{n} = 4^{n + 1}$

Tức là cặp $(\frac{x _{n} - 17 y _{n}}{2}, \frac{- x _{n} + y _{n}}{2})$ cũng thỏa mãn phương trình.

Bây giờ ta cần chỉ ra cặp số lẻ thỏa mãn đề bài.

Ta có $\frac{x _{n} + 17 y _{n}}{2} + \frac{x _{n} - 17 y _{n}}{2} = x_{n}$ là một số lẻ nên $\frac{x _{n} + 17 y _{n}}{2}, \frac{x _{n} - 17 y _{n}}{2}$ khác tính chẵn lẻ.

Nếu $\frac{x _{n} + 17 y _{n}}{2}$ lẻ thì do $\frac{x _{n} + 17 y _{n}}{2} + \frac{x _{n} + y _{n}}{2} = x_{n} + 9 y_{n}$ chẵn nên $\frac{x _{n} + y _{n}}{2}$ lẻ, khi đó $(x_{n + 1}, y_{n + 1}) = (\frac{x _{n} + 17 y _{n}}{2}, \frac{x _{n} + y _{n}}{2})$ là nghiệm của phương trình.

Nếu $\frac{x _{n} + 17 y _{n}}{2}$ chẵn thì $\frac{x _{n} - 17 y _{n}}{2}$ lẻ, do $\frac{x _{n} - 17 y _{n}}{2} + \frac{- x _{n} + y _{n}}{2} = - 8 y_{n}$ chẵn nên $\frac{- x _{n} + y _{n}}{2}$ lẻ. Khi đó $(x_{n + 1}, y_{n + 1}) = (\frac{x _{n} - 17 y _{n}}{2}, \frac{- x _{n} + y _{n}}{2})$ là nghiệm của phương trình.

Theo nguyên lí quy nạp, phương trình có nghiệm $(x, y)$ lẻ với mọi số nguyên dương $n \geq 2$ .

Bài toán tương tự :

Chứng minh với mọi số nguyên dương $n \geq 2$ , phương trình $7 x^{2} + y^{2} = 2^{n}$ luôn có nghiệm nguyên $(x, y)$ , trong đó $x, y$ đều lẻ.

Diophantine Equation

Đề bài

Mô tả