Functional Equation

Bài toán (Thi HSG TpHCM năm 2004-2005) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn : 

$$f(x^2)-f(y^2)=(x+y)\left(f(x)-f(y)\right),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Lời giải :

Đặt $g(x)=f(x)-f(0)\Rightarrow g(0)=0$. Thay vào phương trình hàm ban đầu :

$\left(g(x^2)+f(0)\right)-\left(g(y^2)+f(0)\right)$$=\left(x+y\right)\left(\right)\left(g(x)-g(y)\right),\forall x,y\in \mathbb{R}$$\iff g(x^2)-g(y^2)$$=(x+y)\left(g(x)-g(y)\right),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$

Trong $(1)$ cho $y=0$ ta được $g(x^2)-g(0)=x\left(g(x)-g(0)\right),\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow g(x^2)=xg(x),\forall x\in \mathbb{R}$

Kết hợp với $(1)$ :

$xg(x)-yg(y)$$=(x+y)\left(g(x)-g(y)\right),\forall x,y\in \mathbb{R}$$\iff yg(x)$$=xg(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$$\iff \frac{g(x)}{x}$$=\frac{g(y)}{y},\forall x,y$$\ne 0$$\Rightarrow g(x)$$=cx,\forall x$$\ne 0$

Mà $g(0)=0$ nên $g(x)=cx,\forall x\in \mathbb{R}$.

Kéo theo $f(x)=cx+d,\forall x\in \mathbb{R}$  với $c,d$ là hằng số tùy ý. Thử lại thoả mãn.

Kết luận : Hàm số cần tìm là $f(x)=cx+d,\forall x\in \mathbb{R}$ với $c,d$ là hằng số tùy ý.