Bài toán (Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 10 năm 2003) : Cho hai đường tròn đồng tâm $(O,R)$ và $(O,R_1)$ với $R_1>R$. Tia $AB,BC,CD,DA$ lần lượt cắt $(O,R_1)$ tại $A_1,B_1,C_1,D_1$. Chứng minh rằng \[\dfrac{S_{A_1B_1C_1D_1}}{S_{ABCD}}\geq \dfrac{R_1^2}{R^2}\] Lời giải : Bổ đề : Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O,R)$. Khi đó $AB.BC+AD.DC\leq 4R^2$ và $AD.AB+CB.CD\leq 4R^{2}$. Chứng minh bổ đề : Kẻ dây cung $CE\parallel BD$ với $E$ thuộc $(O)$. Dễ thấy $BC=DE,DC=BE$. Theo định lí Ptolemy và liên hệ giữa dây và đường kính, ta có : $AB.BC+AD.DC=AB.DE+AD.BE=AE.BD\leq 2R.2R=4R^2$ Tương tự, $AD.AB+CD.CB\leq 4R^2$. Bổ đề được chứng minh. Bài toán : Ta có \[\dfrac{S_{D_1DC_1}}{S_{ABCD}}=\dfrac{D_1D.DC_1.sin\widehat{D_1DC}}{S_{ACD}+s_{ABC}}=\dfrac{D_1D.DC_1.sin\widehat{D_1DC}}{AD.DC.sin\widehat{ADC}+AB.BC.sin\widehat{ABC}}=\dfrac{D_1D.DC_1}{AD.DC+AB.BC}\] Chú ý vì $\widehat{D_1DC}=\widehat{ABC}=\pi -\widehat{ADC}$ nên $sin\widehat{D_1DC}=sin\widehat{ABC}=sin\widehat{ADC}$. Áp dụng bổ đề ta có \[\dfrac{S_{D_1DC_1}}{S_{ABCD}}\geq \dfrac{D_1D.DC_1}{4R^2}=\dfrac{(D_1D.AD_1).DC_1}{AD_1.4R^2}=\dfrac{P_{D_1/(O,R)}.DC_1}{AD_1.4R^2}=\dfrac{DC_1}{AD_1}.\dfrac{R_1^2-R^2}{4R^2}\] Hoàn toàn tương tự, ta có : \[\dfrac{S_{C_1CB_1}}{S_{ABCD}}\geq \dfrac{CB_1}{DC_1}.\dfrac{R_1^2-R^2}{4R^2}\;\;,\;\;\dfrac{S_{A_1BB_1}}{S_{ABCD}}\geq \dfrac{BA_1}{CB_1}.\dfrac{R_1^2-R^2}{4R^2}\;\;,\;\;\dfrac{S_{A_1AD_1}}{S_{ABCD}}\geq \dfrac{AD_1}{BA_1}.\dfrac{R_1^2-R^2}{4R^2}\] Do vậy mà : \[\dfrac{S_{A_1B_1C_1D_1}}{S_{ABCD}}=1+\dfrac{S_{D_1DC}+S_{C_1CB_1}+S_{A_1BB_1}+S_{A_1AD_1}}{S_{ABCD}}=1+\dfrac{R_1^2-R^2}{4R^2}\left ( \dfrac{DC_1}{AD_1}+\dfrac{CB_1}{DC_1}+\dfrac{BA_1}{CB_1}+\dfrac{AD_1}{BA_1} \right )\geq 1+\dfrac{R_1^2-R^2}{R^2}=\dfrac{R_1^2}{R^2}\] Đây là điều phải chứng minh.

Geometric Inequality

Bài toán (Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 10 năm 2003) : Cho hai đường tròn đồng tâm $(O, R)$ và $(O, R_{1})$ với $R_{1} > R$ . Tia $A B, B C, C D, D A$ lần lượt cắt $(O, R_{1})$ tại $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ . Chứng minh rằng

$\frac{S _{A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}}}{S _{A B C D}} \geq \frac{R _{1}^{2}}{R ^{2}}$

Lời giải :

Bổ đề : Cho tứ giác $A B C D$ nội tiếp đường tròn $(O, R)$ . Khi đó $A B . B C + A D . D C \leq 4 R^{2}$ và $A D . A B + C B . C D \leq 4 R^{2}$ .

Chứng minh bổ đề :

Kẻ dây cung $C E ∥ B D$ với $E$ thuộc $(O)$ . Dễ thấy $B C = D E, D C = B E$ .

Theo định lí Ptolemy và liên hệ giữa dây và đường kính, ta có : $A B . B C + A D . D C = A B . D E + A D . B E = A E . B D \leq 2 R .2 R = 4 R^{2}$

Tương tự, $A D . A B + C D . C B \leq 4 R^{2}$ . Bổ đề được chứng minh.

Bài toán :

Ta có

$\frac{S _{D_{1} D C_{1}}}{S _{A B C D}} = \frac{D _{1} D . D C _{1} . s in D _{1} D C}{S _{A C D} + s _{A B C}} = \frac{D _{1} D . D C _{1} . s in D _{1} D C}{A D . D C . s in A D C + A B . B C . s in A B C} = \frac{D _{1} D . D C _{1}}{A D . D C + A B . B C}$

Chú ý vì $D_{1} D C = A B C = π - A D C$ nên $s in D_{1} D C = s in A B C = s in A D C$ .

Áp dụng bổ đề ta có

$\frac{S _{D_{1} D C_{1}}}{S _{A B C D}} \geq \frac{D _{1} D . D C _{1}}{4 R ^{2}} = \frac{( D _{1} D . A D _{1} ) . D C _{1}}{A D _{1} .4 R ^{2}} = \frac{P _{D_{1} / (O, R)} . D C _{1}}{A D _{1} .4 R ^{2}} = \frac{D C _{1}}{A D _{1}} . \frac{R _{1}^{2} - R ^{2}}{4 R ^{2}}$

Hoàn toàn tương tự, ta có :

$\frac{S _{C_{1} C B_{1}}}{S _{A B C D}} \geq \frac{C B _{1}}{D C _{1}} . \frac{R _{1}^{2} - R ^{2}}{4 R ^{2}}, \frac{S _{A_{1} B B_{1}}}{S _{A B C D}} \geq \frac{B A _{1}}{C B _{1}} . \frac{R _{1}^{2} - R ^{2}}{4 R ^{2}}, \frac{S _{A_{1} A D_{1}}}{S _{A B C D}} \geq \frac{A D _{1}}{B A _{1}} . \frac{R _{1}^{2} - R ^{2}}{4 R ^{2}}$

Do vậy mà :

$\frac{S _{A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}}}{S _{A B C D}} = 1 + \frac{S _{D_{1} D C} + S _{C_{1} C B_{1}} + S _{A_{1} B B_{1}} + S _{A_{1} A D_{1}}}{S _{A B C D}} = 1 + \frac{R _{1}^{2} - R ^{2}}{4 R ^{2}} (\frac{D C _{1}}{A D _{1}} + \frac{C B _{1}}{D C _{1}} + \frac{B A _{1}}{C B _{1}} + \frac{A D _{1}}{B A _{1}}) \geq 1 + \frac{R _{1}^{2} - R ^{2}}{R ^{2}} = \frac{R _{1}^{2}}{R ^{2}}$

Đây là điều phải chứng minh.

Geometric Inequality

Đề bài

Mô tả