System Of Equation

Bài toán (CĐT trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội 2010-2011) :

Giải hệ phương trình 

$$\{\begin{array}{c}(2x^2-3x+4)(2y^2-3y+4)=18\\ x^2+y^2+xy-7x-6y+14=0(1)\end{array}$$

Lời giải :

Viết phương trình $(1)$ dưới dạng phương trình bậc hai ẩn $x$ :

$$x^2+(y-7)x+(y^2-6y+14)=0$$

Phương trình này có nghiệm nếu ${\Delta }_x=(y-7{)}^2-4(y^2-6y+14)=-3y^2+10y-7\ge 0\iff 1\le y\le \frac{7}{3}$

Viết phương trình $(1)$ dưới dạng phương trình bậc hai ẩn $y$ :

$$y^2+(x-6)y+(x^2-7x+14)=0$$

Phương trình này có nghiệm nếu ${\Delta }_y=(x-6{)}^2-4(x^2-7x+14)=-3x^2+16x-20\ge 0\iff 2\le x\le \frac{10}{3}$

Xét hàm số $f(x)=2x^3-3x+4$, hàm này đồng biến trên $D=\left(\frac{3}{4},+\infty \right)$

Chú ý rằng vì $\left\{1,2\right\}\subset D$ nên $f(x)=2x^2-3x+4\ge f(2)=6$ và $f(y)=2y^2-3y+4\ge f(1)=3$

Do vậy $(2x^2-3x+4)(2y^2-3y+4)\ge 6.3=18$, đẳng thức chỉ xảy ra khi $x=2,y=1$. Nhưng cặp số này không thỏa $(1)$

Kết luận : Hệ phương trình vô nghiệm.