Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2011 THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{2x+3y}+\sqrt{5-x-y}=7\\ 3\sqrt{5-x-y}-\sqrt{2x+y-3}=1 \end{matrix}\right.$ Lời giải : Đặt $\sqrt{2x+3y}=a\geq 0,\sqrt{2x+y-3}=b\geq 0,\sqrt{5-x-y}=c\geq 0$ Thì $a^{2}+b^{2}+4c^{2}=(2x+3y)+(2x+y-3)+4(5-x-y)=17$ Từ đó ta có hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} a^2+b^2+4c^2=17\\ 2a+c=7\\ 3c-b=1 \end{matrix}\right.$ Từ hai phương trình sau được $a=\dfrac{7-c}{2},b=3c-1$ thế vào phương trình đầu : \[\left ( \dfrac{7-c}{2} \right )^2+(3c-1)^2+4c^2=17\Leftrightarrow 53c^2-38c-15=0\Leftrightarrow c=1\;\vee c=\dfrac{-15}{53}\] Vì $c\geq 0$ nên $c=1$. Khi đó $a=3,b=2$. Từ đó dẫn đến : $\left\{\begin{matrix} x+y=4 & & \\ 2x+3y=9& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (x,y)=(3,1)$ Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là $\boxed{(x,y)=(3,1)}$

[Bài toán] Hệ phương trình vô tỷ

0 lượt xem 22/06/2026

Đề bài

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2011 THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai)

Giải hệ phương trình ${2 2 x + 3 y + 5 - x - y = 7 3 5 - x - y - 2 x + y - 3 = 1$

Lời giải :

Đặt $2 x + 3 y = a \geq 0, 2 x + y - 3 = b \geq 0, 5 - x - y = c \geq 0$

Thì $a^{2} + b^{2} + 4 c^{2} = (2 x + 3 y) + (2 x + y - 3) + 4 (5 - x - y) = 17$

Từ đó ta có hệ phương trình $⎩ ⎨ ⎧ a^{2} + b^{2} + 4 c^{2} = 17 2 a + c = 7 3 c - b = 1$

Từ hai phương trình sau được $a = \frac{7 - c}{2}, b = 3 c - 1$ thế vào phương trình đầu :

$(\frac{7 - c}{2})^{2} + (3 c - 1)^{2} + 4 c^{2} = 17 \Leftrightarrow 53 c^{2} - 38 c - 15 = 0 \Leftrightarrow c = 1 \lor c = \frac{- 15}{53}$

Vì $c \geq 0$ nên $c = 1$ . Khi đó $a = 3, b = 2$ . Từ đó dẫn đến : ${x + y = 4 2 x + 3 y = 9 \Leftrightarrow (x, y) = (3, 1)$

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (3, 1)$

Mô tả

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2011 THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai) Giải hệ phương trình Lời giải : Đặt Thì Từ đó ta có hệ phương trình Từ hai phương trình sau được thế vào phương trình đầu : Vì nên . Khi đó . Từ đó dẫn đến […]

Hệ phương trình

Nguồn: julielltv