System of Functional Equation

Bài toán : Tìm các hàm số $f,g$ thỏa mãn hệ 

$$\{\begin{array}{c}f(2x-1)+g(1-x)=x+1(1)\\ f\left(\frac{1}{x+1}\right)+2g\left(\frac{x}{2x+2}\right)=3(2)\end{array}$$

với mọi số thực $x$.

Lời giải :

Ta có thể viết $(2)$ thành :

$g\left(1-\frac{x}{x+1}\right)+2g\left(\frac{x}{2(x+1)}\right)$$=3$$\iff f(1-2x)+2g(x)$$=3$

Đặt $2x-1=1-2t$ thì $x=1-t$. Khi đó $\left(1\right)\iff f(1-2t)+g(1-(1-t))=(1-t)+1\iff f(1-2t)+g(t)=2-t\iff f(1-2x)+g(x)=2-x$

Từ đó ta thu được hệ phương trình hàm :

$$\{\begin{array}{c}f(1-2x)+g(x)=2-x\\ f(1-2x)+2g(x)=3\end{array}\iff \{\begin{array}{c}f(x)=x\forall x\in \mathbb{R}\\ g(x)=x+1\forall x\in \mathbb{R}\end{array}$$

Kết luận : Các hàm số $f(x),g(x)$ cần tìm thỏa mãn đề bài là $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R};g(x)=x+1,\forall x\in \mathbb{R}$