Bài toán : (IMO Shortlist 2008) Cho $n$ là số nguyên dương, $p$ là số nguyên tố và các số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn : \[a^n+pb=b^n+pc=c^n+pa\]. Chứng minh rằng $a=b=c$. Lời giải : Nếu có hai trong ba số trên bằng nhau thì cả ba số đều bằng nhau. Nếu $a,b,c$ khác nhau đôi một. Ta có \[-p=\dfrac{a^n-b^n}{b-c}=\dfrac{b^n-c^n}{c-a}=\dfrac{c^n-a^n}{a-b}\Rightarrow \dfrac{a^n-b^n}{a-b}.\dfrac{b^n-c^n}{b-c}.\dfrac{c^n-a^n}{c-a}=-p^3\] Nếu $n$ lẻ thì $a^{n}-b^n$ và $a-b$ là cùng dấu, suy ra $-p^3=VT>0$, mâu thuẫn. Do đó $n$ chẵn. Nếu $p$ lẻ thì $\dfrac{a^{n}-b^n}{a-b}=a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1}$ là một số lẻ. Mà $n$ chẵn nên tổng $A=a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1}$ có số số hạng là một số chẵn, hơn nữa $A$ lẻ nên $a,b$ phải khác tính chẵn lẻ. Tức là $a-b\equiv 1\;(mod\;2)$ Hoàn toàn tương tự $b-c\equiv c-a\equiv 1\;(mod\;2)$ Suy ra $3\equiv (a-b)+(b-c)+(c-a)=0\;(mod\;2)$. Mâu thuẫn. Như vậy phải có $p$ chẵn, tức $p=2$. Khi đó \[\dfrac{a^n-b^n}{a-b}.\dfrac{b^n-c^n}{b-c}.\dfrac{c^n-a^n}{c-a}=-8\]. Vì $n$ chẵn nên đặt $n=2k$ ta được : \[\left | \dfrac{a^{2k}-b^{2k}}{a-b}.\dfrac{b^{2k}-c^{2k}}{b-c}. \dfrac{c^{2k}-a^{2k}}{c-a}\right |=8\Leftrightarrow \left | (a+b)(b+c)(c+a).\dfrac{a^{2k}-b^{2k}}{a^2-b^2}. \dfrac{a^{2k}-b^{2k}}{a^2-b^2}.\dfrac{a^{2k}-b^{2k}}{a^2-b^2}\right |=\left | (a+b)(b+c)(c+a).\left ( a^{2k-2}+a^{2k-4}b^2+...+b^{2k-2} \right ). \left ( b^{2k-2}+b^{2k-4}c^2+...+c^{2k-2} \right ).\left ( c^{2k-2}+c^{2k-4}a^2+...+c^{2k-2} \right )\right |=8\] Nếu ít nhất một trong ba số $a,b,c$ bằng $0$, giả sử $a=0$. Từ giả thiết ban đầu ta dễ dàng có hệ $\left\{\begin{matrix} c^n=b^n+2c\\ c^n=2b \end{matrix}\right.\Rightarrow (2c)^n=c^{n^2}+2c\Rightarrow c^{n-1}(2^n-c^{n+1})=2$. Dễ dàng thấy mâu thuẫn ở đây. Như vậy ta xét $\left | a \right |,\left | b \right |,\left | c \right |\geq 1$. Nếu $k\geq 2$ Khi đó : \[\left | a^{2k-2}+a^{2k-4}b^2+...+b^{2k-2} \right |\geq \left | a^{4}+b^4 \right |\geq 2\]. Tương tự $\left | b^{2k-2}+b^{2k-4}c^2+...+c^{2k-2} \right |\geq 2,\left | c^{2k-2}+c^{2k-4}a^2+...+a^{2k-2} \right |\geq 2$. Từ đó $\left | (a+b)(b+c)(c+a) \right |\leq 1$. Dễ dàng chỉ ra được điều này vô lí. Do đó $k=1$, tức $n=2$. Khi đó thì $(a+b)(b+c)(c+a) =-8$. Mặt khác từ giả thiết ban đầu là $a^{n}+2b=b^n+2c=c^n+2a$ ta có $a,b,c$ cùng tính chẵn lẻ. Do đó nên trong ba số $a+b,b+c,c+a$ sẽ có hai số bằng $\pm2$ và số còn lại bằng $-2$. Từ đó dễ dàng suy ra được ba số $a,b,c$ phải bằng nhau (mâu thuẫn) Kết luận : Gỉa thiết phản chứng là sai, ta có $a=b=c$.

Number Theory

Bài toán : (IMO Shortlist 2008) Cho $n$ là số nguyên dương, $p$ là số nguyên tố và các số nguyên $a, b, c$ thỏa mãn :

$a^{n} + p b = b^{n} + p c = c^{n} + p a$ .

Chứng minh rằng $a = b = c$ .

Lời giải :

Nếu có hai trong ba số trên bằng nhau thì cả ba số đều bằng nhau. Nếu $a, b, c$ khác nhau đôi một.

Ta có

$- p = \frac{a ^{n} - b ^{n}}{b - c} = \frac{b ^{n} - c ^{n}}{c - a} = \frac{c ^{n} - a ^{n}}{a - b} \Rightarrow \frac{a ^{n} - b ^{n}}{a - b} . \frac{b ^{n} - c ^{n}}{b - c} . \frac{c ^{n} - a ^{n}}{c - a} = - p^{3}$

Nếu $n$ lẻ thì $a^{n} - b^{n}$ và $a - b$ là cùng dấu, suy ra $- p^{3} = V T > 0$ , mâu thuẫn. Do đó $n$ chẵn.

Nếu $p$ lẻ thì $\frac{a ^{n} - b ^{n}}{a - b} = a^{n - 1} + a^{n - 2} b + ... + a b^{n - 2} + b^{n - 1}$ là một số lẻ. Mà $n$ chẵn nên tổng $A = a^{n - 1} + a^{n - 2} b + ... + a b^{n - 2} + b^{n - 1}$ có số số hạng là một số chẵn, hơn nữa $A$ lẻ nên $a, b$ phải khác tính chẵn lẻ. Tức là $a - b \equiv 1 (m o d 2)$

Hoàn toàn tương tự $b - c \equiv c - a \equiv 1 (m o d 2)$

Suy ra $3 \equiv (a - b) + (b - c) + (c - a) = 0 (m o d 2)$ . Mâu thuẫn.

Như vậy phải có $p$ chẵn, tức $p = 2$ . Khi đó

$\frac{a ^{n} - b ^{n}}{a - b} . \frac{b ^{n} - c ^{n}}{b - c} . \frac{c ^{n} - a ^{n}}{c - a} = - 8$ .

Vì $n$ chẵn nên đặt $n = 2 k$ ta được :

$\frac{a ^{2 k} - b ^{2 k}}{a - b} . \frac{b ^{2 k} - c ^{2 k}}{b - c} . \frac{c ^{2 k} - a ^{2 k}}{c - a} = 8 \Leftrightarrow (a + b) (b + c) (c + a) . \frac{a ^{2 k} - b ^{2 k}}{a ^{2} - b ^{2}} . \frac{a ^{2 k} - b ^{2 k}}{a ^{2} - b ^{2}} . \frac{a ^{2 k} - b ^{2 k}}{a ^{2} - b ^{2}} = (a + b) (b + c) (c + a) . (a^{2 k - 2} + a^{2 k - 4} b^{2} + ... + b^{2 k - 2}) . (b^{2 k - 2} + b^{2 k - 4} c^{2} + ... + c^{2 k - 2}) . (c^{2 k - 2} + c^{2 k - 4} a^{2} + ... + c^{2 k - 2}) = 8$

Nếu ít nhất một trong ba số $a, b, c$ bằng $0$ , giả sử $a = 0$ . Từ giả thiết ban đầu ta dễ dàng có hệ ${c^{n} = b^{n} + 2 c c^{n} = 2 b \Rightarrow (2 c)^{n} = c^{n^{2}} + 2 c \Rightarrow c^{n - 1} (2^{n} - c^{n + 1}) = 2$ . Dễ dàng thấy mâu thuẫn ở đây.

Như vậy ta xét $∣ a ∣, ∣ b ∣, ∣ c ∣ \geq 1$ . Nếu $k \geq 2$

Khi đó :

$a^{2 k - 2} + a^{2 k - 4} b^{2} + ... + b^{2 k - 2} \geq a^{4} + b^{4} \geq 2$ .

Tương tự $b^{2 k - 2} + b^{2 k - 4} c^{2} + ... + c^{2 k - 2} \geq 2, c^{2 k - 2} + c^{2 k - 4} a^{2} + ... + a^{2 k - 2} \geq 2$ .

Từ đó $∣ (a + b) (b + c) (c + a) ∣ \leq 1$ . Dễ dàng chỉ ra được điều này vô lí.

Do đó $k = 1$ , tức $n = 2$ . Khi đó thì $(a + b) (b + c) (c + a) = - 8$ .

Mặt khác từ giả thiết ban đầu là $a^{n} + 2 b = b^{n} + 2 c = c^{n} + 2 a$ ta có $a, b, c$ cùng tính chẵn lẻ. Do đó nên trong ba số $a + b, b + c, c + a$ sẽ có hai số bằng $\pm 2$ và số còn lại bằng $- 2$ . Từ đó dễ dàng suy ra được ba số $a, b, c$ phải bằng nhau (mâu thuẫn)

Kết luận : Gỉa thiết phản chứng là sai, ta có $a = b = c$ .

Number Theory

Đề bài

Mô tả