[Bài toán] Hàng điểm điều hòa, Hệ thức lượng trong tam giác

Bài toán : Trên cạnh $BC$ của tam giác $ABC$, lấy một điểm $N$ thỏa mãn đồng thời $BN=2NC$ và $\widehat{NAB}=\widehat{NAC}$. Gọi $L$ là chân đường vuông góc hạ từ $B$ xuống $AK$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $H$ là giao điểm của tia $ML$ với $AC$. 

a) Chứng minh $FH\perp AC$

b) Chứng minh rằng $HM$ là phân giác góc $BHN$.

Lời giải :

Bổ đề 1 : Cho hai điểm $A,B$ phân biệt và một số thực $k$. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm $H$ thuộc đường $AB$ và thỏa mãn $H{A}^2-H{B}^2=k$

Bổ đề 2 : Cho hai đường thẳng $a,b$. Các điểm $A,B$ lần lượt thuộc $a$ và $C,D$ lần lượt thuộc $b$. Khi đó $a\perp b\iff A{C}^2-B{C}^2=A{D}^2-B{D}^2$

Xem chứng minh hai bổ đề tại đây.

Trở lại bài toán :

a) Đặt $AB=c,CA=b,BC=a,\widehat{NAC}=\alpha$ thì $AL=AB.cos\widehat{NAB}=c.cos2\alpha$

Theo định lí hàm số cos trong tam giác $ALC$ :

$L{C}^2$$=A{C}^2+L{A}^2-2AC.LA.cos\widehat{NAC}$$\iff L{C}^2-L{A}^2$$=A{C}^2-2AC.LA.cos\widehat{NAC}$$=b^2-2bc.cos\alpha .cos2\alpha$

Ta có $M{C}^2-M{A}^2=\frac{a^2}{4}-\frac{1}{4}\left(2b^2+2c^2-a^2\right)=\frac{a^2-b^2-c^2}{2}=-bc.cosA=-bc.cos\alpha$

Như vậy theo bổ đề 2, ta có $MH\perp AC\iff ML\perp AC\iff L{C}^2-L{A}^2=M{C}^2-M{A}^2\iff b^2-2bc.cos\alpha .sin2\alpha =-bc.cos3\alpha \iff b^2+bc.cos3\alpha =2bc.cos\alpha .sin2\alpha \iff \frac{b}{c}+cos3\alpha =2cos\alpha .sin2\alpha (\ast )$

Mặt khác theo định lí hàm số sin trong các tam giác $NAB,NAC$ :

$\frac{BN}{sin\widehat{NAB}}$$=\frac{AB}{sin\widehat{ANB}}$$\Rightarrow sin\widehat{ANB}$$=\frac{AB.sin\widehat{NAB}}{BN}$$=\frac{3c.sin2\alpha }{2a}$

và $\frac{NC}{sin\widehat{NAC}}=\frac{AC}{sin\widehat{ANC}}\Rightarrow sin\widehat{ANC}=\frac{AC.sin\widehat{NAC}}{NC}=\frac{3b.sin\alpha }{a}$

Chú ý rằng vì $\widehat{ANB}+\widehat{ANC}=\pi \Rightarrow sin\widehat{ANB}=sin\widehat{ANC}\Rightarrow \frac{3c.sin2\alpha }{2a}=\frac{3b.sin\alpha }{a}\Rightarrow c=\frac{2bsin\alpha }{sin2\alpha }=\frac{b}{cos\alpha }$

Thay $\frac{b}{c}=cos\alpha$ vào $(\ast )$ thì ta được :

$\left(\ast \right)\iff cos\alpha +cos3a=2cos\alpha .cos2\alpha$. Hiển nhiên đúng.

Như vậy ta có $MH\perp AC$.

b) Ta có $\frac{CB}{CN}=3$ và $4MB=2BC=3NB=3(MN+MB)\Rightarrow \frac{MB}{MN}=3$

Suy ra $\frac{\overline{MB}}{\overline{MN}}=-\frac{\overline{CB}}{\overline{CN}}\Rightarrow (BNMC)=-1$

Như vậy ta có $H\left(BNMC\right)=-1$ mà $HM\perp HC$ (câu a) nên theo định lí về chùm điều hòa ta có $HM$ là phân giác góc $BHN$.