Functional Equation

Bài toán (Bangladesh MO 2012) Tìm hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x^2-y^2)=(x-y)\left(f(x)+f(y)\right),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Trong $(1)$ cho $x=y=0$ được $f(0)=0$.

Trong $(1)$ cho $y=0$ :

$f(x^2)$$=x\left(f(x)+f(0)\right)$$=xf(x),\forall x\in \mathbb{R}$$\Rightarrow f((-x{)}^2)$$=-x.f(-x),\forall x\in \mathbb{R}$$\Rightarrow -x.f(-x)$$=x.f(x),\forall x\in \mathbb{R}$$\Rightarrow f(-x)$$=-f(x),\forall x\in \mathbb{R}$

Trong $(1)$ thay $x$ bởi $-x$ :

$f\left((-x{)}^2-y^2\right)$$=(-x-y)\left(f(-x)+f(y)\right)$$=-(x+y)\left(-f(x)+f(y)\right)$$=(x+y)\left(f(x)-f(y)\right),\forall x,y\in \mathbb{R}(2)$

Từ $(1)(2)$ suy ra

$(x+y)\left(f(x)-f(y)\right)$$=(x-y)\left(f(x)+f(y)\right),\forall x,y\in \mathbb{R}$$\iff -x.f(y)+yf(x)$$=xf(y)-yf(x),\forall x,y\in \mathbb{R}$$\iff \frac{f(x)}{x}$$=\frac{f(y)}{y},\forall x,y$$\ne 0$$\iff f(x)$$=cx,\forall x$$\ne 0$

Với $c$ là hằng số bất kì. Kết hợp với $f(0)=0$ ta có $f(x)=cx,\forall x\in \mathbb{R}$.

Thử lại ta thấy thỏa mãn.

Kết luận : Hàm số cần tìm thỏa mãn đề bài là $f(x)=cx,\forall x\in \mathbb{R}$