Inequality in Triangle

Bài toán (THTT số 437) Chứng minh rằng với mọi tam giác $ABC$, ta có :

$\frac{cos\frac{B-C}{2}}{sin\frac{A}{2}}+\frac{cos\frac{C-A}{2}}{sin\frac{B}{2}}+\frac{cos\frac{A-B}{2}}{sin\frac{C}{2}}$$\le 2\left(\frac{tan\frac{A}{2}}{tan\frac{B}{2}}+\frac{tan\frac{B}{2}}{tan\frac{C}{2}}+\frac{tan\frac{C}{2}}{tan\frac{A}{2}}\right)$

Lời giải :

Chú ý công thức $tan\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}$

Suy ra

$\frac{tan\frac{A}{2}}{tan\frac{B}{2}}$$=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}.\sqrt{\frac{p(p-b)}{(p-c)(p-a)}}$$=\frac{p-b}{p-a}$$=\frac{c+a-b}{b+c-a}$

Tương tự với các hệ thức còn lại.

Mặt khác, ta có :

$\frac{cos\frac{B-C}{2}}{sin\frac{A}{2}}$$=\frac{sin\frac{B+C}{2}.cos\frac{B-C}{2}}{sin\frac{A}{2}.sin\frac{\pi -A}{2}}$$=\frac{2sin\frac{B+C}{2}.cos\frac{B-C}{2}}{2sin\frac{A}{2}.cos\frac{A}{2}}$$=\frac{sinB+sinC}{sinA}$$=\frac{b+c}{a}$

Tương tự với các hệ thức còn lại.

Từ đó ta quy về chứng minh BĐT đại số :

$\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}$$\le 2\left(\frac{b+c-a}{c+a-b}+\frac{c+a-b}{a+b-c}+\frac{a+b-c}{b+c-a}\right)$

Đặt $x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c$, vì $a,b,c$ là độ dài ba cạnh một tam giác nên $x,y,z>0$.

Khi đó $x+y=2c,y+z=2a,z+x=2b$. Ta cần chứng minh :

$\frac{2x+y+z}{y+z}+\frac{x+2y+z}{x+z}+\frac{x+y+2z}{x+y}$$\le 2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)$$\iff 3+\frac{2x}{y+z}+\frac{2y}{z+x}+\frac{2z}{x+y}$$\le 2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)(\ast )$

Sử dụng các khai triển :

$\bullet \frac{2x}{y+z}+\frac{2y}{z+x}+\frac{2z}{x+y}-3$$=\frac{2(x-y{)}^2}{(x+z)(y+z)}+\frac{x+y+2z}{(x+y)(y+z)(z+x)}(x-z)(y-z)$

$$\bullet \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}-3=\frac{(x-y{)}^2}{xy}+\frac{(x-z)(y-z)}{zx}$$

Khi đó trừ $6$ vào hai vế của $(\ast )$ và dùng các khai triển nêu trên, BĐT cần chứng minh tương đương :

$\left[\frac{2}{xy}-\frac{2}{(x+z)(y+z)}\right](x-y{)}^2+\left[\frac{2}{zx}-\frac{x+y+2z}{(x+y)(y+z)(z+x)}\right](x-z)(y-z)$$\ge 0$$\iff M.(x-y{)}^2+N.(x-z)(y-z)$$\ge 0$

Dễ dàng thấy được $M,N>0$. Khi đó giả sử $z=min\left\{x,y,z\right\}$ thì ta có điều phải chứng minh.