1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH. 1. Phương pháp giải phương trình bậc ba. Xét phương trình bậc ba dạng tổng quát bao giờ cũng đưa về được phương trình bậc ba dạng chính tắc bằng cách chia hai vế của cho để được và đặt thì ta sẽ thu được . Xét biểu thức . […]
Bài toán (CĐT HSG THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai 2010-2011) Giải hệ phương trình Lời giải : Điều kiện Xét hàm số , hàm này đồng biến trên . Phương trình đầu của hệ có thể viết thành Thay vào phương trình sau : Ta thấy hàm số đồng biến trên . Hơn nữa nên […]
Bài toán (CĐT VMO 2013-2014 tỉnh Quảng Nam) Giải hệ phương trình Lời giải : Điều kiện Hệ tương đương : Đặt ta được Ta cần đưa về dạng đẳng cấp bậc ba. Từ ta có Do đó Nếu thì từ ta có . Dẫn đến Nếu thì từ ta có (loại) Nếu thì từ ta […]
Bài toán (CĐT VMO 2013-2014 tỉnh An Giang) Giải hệ phương trình Lời giải : Điều kiện Phương trình thứ hai viết thành : Cộng vế theo vế với phương trình đầu : Xét hàm số có nên là hàm đồng biến trên Chính vì vậy Thay vào phương trình đầu ta được : Kết […]
Bài toán (CĐT VMO 2013-2014 tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu) Giải phương trình Lời giải : Có thể viết phương trình thành : Ta đặt Trừ vế theo vế hai phương trình này thì được : Dễ thấy hàm số đồng biến trên nên Dẫn đến phương trình Kết luận : Tập nghiệm của phương […]
Bài toán (Đề thi dự bị HSG toán tỉnh Nghệ An năm 2010-2011) Giải hệ phương trình Lời giải : Ta cần đưa phương trình về một phương trình đẳng cấp. Ta có Nếu thì từ ta có , kéo theo Nếu thì từ ta có , kéo theo . Nếu , thay vào được , […]
Bài toán : Cho tứ giác ngoại tiếp đường tròn tâm . Gọi lần lượt là giao điểm của với . Hạ vuông góc với . Chứng minh rằng Lời giải : Bổ đề : Cho tứ giác ngoại tiếp đường tròn với các tiếp điểm trên lần lượt là . Gọi là giao của […]
Bài toán (China TST 2002) Cho tứ giác lồi , gọi lần lượt là giao điểm của và , và , và . Gọi là chân đường vuông góc hạ từ xuống . Chứng minh rằng Lời giải : Gọi là giao điểm của và và là giao điểm của với . Ta có (hàng […]
Bài toán : Cho tam giác và điểm nằm trong tam giác. Các tia lần lượt cắt tại . Gọi là giao điểm của . Gọi là hình chiếu của trên . Chứng minh rằng Lời giải : Gọi là giao điểm của tia với . là giao điểm của với Ta có (hàng điều […]
Bài toán : Tìm nghiệm nguyên của phương trình . Lời giải : Dễ thấy phương trình có các nghiệm tầm thường Đặt ta được phương trình . Đây chính là phương trình , nghiệm nhỏ nhất của nó là nên mọi nghiệm nguyên dương của nó được xác định bởi công thức . Nhưng để […]
Bài toán : Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Trong cho ta thu được Trong cho , ta được : (vì ) Trong cho thì được : Mà với ta có . Kết luận : Hàm số cần tìm là
Bài toán : Cho là số nguyên dương. Chứng minh rằng phương trình có vô số nghiệm nguyên dương mà . Lời giải : Chọn là số nguyên tố có dạng . Khi đó theo định lí , ta có : Chọn và áp dụng hằng đẳng thức : Chọn thì phương trình đã cho […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2011 THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, tỉnh Kiên Giang) : Cho tam giác cân tại . Đường thẳng có phương trình . Gọi là trung điểm của . là hình chiếu của trên cạnh , là trung điểm của . Đường thẳng qua . có phương […]
Bài toán : Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Đặt Đặt Đặt Như vậy ta có hệ Giải hệ này ta tìm được . Đó là hàm số cần tìm.
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Lê Hồng Phong TpHCM) : Giải hệ phương trình Lời giải : Đặt Khi đó Coi đây là một phương trình bậc hai ẩn , khi đó biệt thức Như vậy, ta có Rõ ràng là vô lí vì , do vậy phải […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Lê Qúy Đôn tỉnh Ninh Thuận) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương sao cho chia hết cho . Lời giải : Dễ thấy chẵn nên chẵn, do đó cùng tính chẵn lẻ. Nếu cùng lẻ thì và , mâu thuẫn. Do vậy […]
Bài toán : Cho tam giác ngoại tiếp đường tròn . Các tiếp điểm với trên lần lượt là . Gọi là giao điểm của với . Gọi lần lượt là giao điểm của đường thẳng với . Chứng minh rằng đồng quy. Lời giải : Gọi là giao điểm của với và là giao […]
Bài toán : Giải hệ phương trình Lời giải : Ta có Mặt khác từ ta cũng có . Như vậy nếu đặt thì ta có hệ đối xứng loại I : Dễ dàng giải được hệ này. Kết luận : Nghiệm của hệ đã cho là
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2010 THPT Chuyên Lê Hồng Phong TpHCM) Giải hệ phương trình Lời giải : Phương trình thứ nhất có thể viết thành : Xét hàm số Ta chứng minh hàm này đồng biến trên . Thật vậy, lấy . Khi đó Như vậy hàm là hàm đồng […]
Bài toán : Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn : Lời giải : Ta có . Ta có Như vậy ta có . Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng Gỉa sử khẳng định trên đúng đến , tức là . Ta cần chứng minh Nếu lẻ thì chẵn, ta có Nếu chẵn thì . Mặt khác […]