[Bài toán] Hệ phương trình

Bài toán (Đề thi dự bị HSG toán tỉnh Nghệ An năm 2010-2011) 

Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}{x}^3+8y^3-4x{y}^2=1(1)\\ 2x^4+8y^4-2x-y=0(2)\end{array}$

Lời giải :

Ta cần đưa phương trình $(2)$ về một phương trình đẳng cấp.

Ta có

$\left(2\right)$$\iff 2x^4+8y^4$$=2x+y$$=(2x+y)(x^3+8y^3-4x{y}^2)$$\iff 2x^4+8y^4$$=2x^4+16x{y}^3-8x^2{y}^2+x^{3}y+8y^4-4x{y}^3$$\iff 12x{y}^3-8x^2{y}^2+x^{3}y$$=0$$\iff xy(12y^2-8xy+x^2)$$=0$$\iff xy(2y-x)(6y-x)$$=0$

Nếu $x=0$ thì từ $(1)$ ta có $8y^3=1$, kéo theo $y=\frac{1}{2}$

Nếu $y=0$ thì từ $(1)$ ta có $x^3=1$, kéo theo $x=1$.

Nếu $x=2y$, thay vào $(1)$ được $8y^3=1\iff y=1/2$, suy ra $x=1$

Nếu $x=6y$, thay vào $(1)$ được $200y^3=1\iff y=\frac{1}{\sqrt[3]{200}}$, suy ra $x=\frac{6}{\sqrt[3]{200}}$

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là $\left(x,y\right)=\left(0,\frac{1}{2}\right),\left(1,0\right),\left(1,\frac{1}{2}\right),\left(\frac{6}{\sqrt[3]{200}},\frac{1}{\sqrt[3]{200}}\right)$