Bài toán (China TST 2002) Cho tứ giác lồi $ABCD$, gọi $E,F,P$ lần lượt là giao điểm của $AD$ và $BC$, $AB$ và $CD$, $AC$ và $BD$. Gọi $O$ là chân đường vuông góc hạ từ $P$ xuống $EF$. Chứng minh rằng $\widehat{AOD}=\widehat{BOC}$ Lời giải : Gọi $I$ là giao điểm của $BD$ và $EF$ và $J$ là giao điểm của $EP$ với $CD$. Ta có $\left ( DCJF \right )=-1$ (hàng điều hòa tứ giác toàn phần) nên $E\left ( DCJF \right )=-1\Rightarrow E\left ( DBPI \right )=-1\Rightarrow O\left ( DBPI \right )=-1$ Mà $OP \perp OI$ nên theo định lí về chùm điều hòa, ta có $OP$ là phân giác $\widehat{DOC}\Rightarrow \widehat{DOP}=\widehat{BOP}$ Hoàn toàn tương tự ta có $\widehat{AOP}=\widehat{COP}$ Từ đó $\widehat{AOD}=\widehat{AOP}-\widehat{DOP}=\widehat{COP}-\widehat{BOP}=\widehat{BOC}$ Đây là điều phải chứng minh.

[Bài toán] Hàng điểm điều hòa

0 lượt xem 22/06/2026

Đề bài

Bài toán (China TST 2002) Cho tứ giác lồi $A B C D$ , gọi $E, F, P$ lần lượt là giao điểm của $A D$ và $B C$ , $A B$ và $C D$ , $A C$ và $B D$ . Gọi $O$ là chân đường vuông góc hạ từ $P$ xuống $E F$ . Chứng minh rằng $A O D = B O C$

Lời giải :

Gọi $I$ là giao điểm của $B D$ và $E F$ và $J$ là giao điểm của $E P$ với $C D$ .

Ta có $(D C J F) = - 1$ (hàng điều hòa tứ giác toàn phần) nên $E (D C J F) = - 1 \Rightarrow E (D B P I) = - 1 \Rightarrow O (D B P I) = - 1$

Mà $O P ⊥ O I$ nên theo định lí về chùm điều hòa, ta có $O P$ là phân giác $D O C \Rightarrow D O P = B O P$

Hoàn toàn tương tự ta có $A O P = C O P$

Từ đó $A O D = A O P - D O P = C O P - B O P = B O C$

Đây là điều phải chứng minh.

Mô tả

Bài toán (China TST 2002) Cho tứ giác lồi , gọi lần lượt là giao điểm của và , và , và . Gọi là chân đường vuông góc hạ từ xuống . Chứng minh rằng Lời giải : Gọi là giao điểm của và và là giao điểm của với . Ta có (hàng […]

Hình học phẳngTỉ số kép - Hàng điểm điều hoà

Nguồn: julielltv