1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán (Đề thi chính thức Olympic duyên hải Bắc bộ toán 10 năm 2012) Cho tam giác . Bên ngoài tam giác ta dựng các hình vuông . Gọi là trọng tâm tam giác và gọi lần lượt là giao điểm của với , của với , của với . Vẽ các hình bình […]
Bài toán (CĐT VMO trường PTNK ĐHQG Tp HCM 2013-2014) Cho dãy thỏa mãn . Tìm số nguyên tố thỏa mãn và Lời giải : Bổ đề quen thuộc : Với các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thì không có ước nguyên tố nào dạng Bài toán : Ta có Do đó Từ đó […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2010 THPT Chuyên Hoàng Lệ Kha tỉnh Tây Ninh) : Tìm hai số nguyên dương sao cho Lời giải : Dễ thấy cặp thỏa mãn. Xét . Trường hợp 1 : Nếu Ta có . Đặt Khi đó Trước hết ta chứng minh bằng quy nạp Thật vậy, […]
Bài toán : Cho số nguyên dương . Chứng minh rằng các phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương. a) b) c) Lời giải : Xét số nguyên dương tùy ý. a) Chọn số , ta sẽ tìm để phương trình được thỏa mãn. Thay vào phương trình Nhận thấy phải phụ thuộc vào , […]
Bài toán : Cho trước các số nguyên dương . Chứng minh rằng các phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương : a) b) Lời giải : Xét số nguyên dương bất kì. a) Phương trình có hai họ nghiệm nguyên dương b) Phương trình có họ nghiệm
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Bến Tre tỉnh Bến Tre) Giải hệ phương trình Lời giải : Phương trình đầu có thể viết lại dưới dạng : Xét hàm , hàm này đồng biến trên , chính vì vậy Thay vào phương trình thứ hai : Rõ ràng ta có […]
Bài toán (CĐT VMO 2013-2014 THPT Chuyên Bắc Ninh tỉnh Bắc Ninh) : Giải hệ phương trình Lời giải : Điều kiện Đặt , khi đó phương trình thứ nhất của hệ trở thành : Nếu thì , từ phương trình đầu suy ra . Cặp không thỏa phương trình sau. Nếu thì từ phương trình […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2011 THPT Chuyên Trà Vinh tỉnh Trà Vinh) : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình Lời giải : Từ phương trình dễ thấy phải có . Nếu thì cặp thỏa mãn. Xét Khi đó viết phương trình thành : Thay vào phương trình : Nếu lẻ, […]
Bài toán : Giải phương trình nghiệm nguyên Lời giải : Viết phương trình dưới dạng một phương trình bậc hai có ẩn : Xét biệt thức Để có nghiệm nguyên thì điều kiện cần là là một số chính phương. Đặt với là số nguyên dương. Đây chính là phương trình , xét số […]
Bài toán : (CĐT VMO 2010-2011 THPT Chuyên Nguyễn Du, tỉnh Đắc Lắc) Giải hệ phương trình Lời giải : Điều kiện Phương trình đầu của hệ có thể viết thành : Để ý rằng hàm số đồng biến trên nên từ Thay vào phương trình sau của hệ : Với điều kiện thì ta […]
Bài toán : Giải phương trình Lời giải : Phương trình được viết lại : Dễ thấy hàm đồng biến trên nên từ Đặt ta được : Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là
Bài toán (CĐT VMO 2009-2010 Tp HCM) Giải hệ phương trình Lời giải : Xét , từ có . Nhưng cặp không thỏa . Ta xét . Viết phương trình thành : Dễ thấy rằng hàm đồng biến trên nên từ Thay vào : Đặt ta được hệ Cộng vế hai phương trình ta thu được […]
Bài toán : a) Chứng minh rằng phương trình có vô số nghiệm nguyên. b) Chứng minh rằng phương trình có vô số nghiệm nguyên. c) Chứng minh rằng phương trình có vô số nghiệm nguyên. Lời giải : a) Ta có đẳng thức đại số sau : Từ đó ta rút ra được một […]
Bài toán : Chứng minh rằng nếu là các số nguyên tố phân biệt thì phương trình có vô số nghiệm nguyên dương Lời giải : Ta có đẳng thức hiển nhiên sau : Khi đó ta chọn Thì ta thu được ngay phương trình Vậy nếu ta chỉ ra được số nguyên dương sao […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2011 THPT Chuyên Bến Tre tỉnh Bến Tre) Giải phương trình Lời giải : Do cấu trúc khá giống với công thức lượng giác về bậc của các biến. Ta sẽ đặt ẩn phụ thích hợp để đưa các hệ số của phương trình giống với […]
Bài toán : Giải hệ phương trình Lời giải : Điều kiện Dễ thấy không là nghiệm. Khi đó ta viết phương trình thành : Cộng vế và trừ vế hai phương trình này thì ta được hệ tương đương : Nhân vế theo vế hai phương trình này : Chia hai vế của phương […]
Bài toán (VMO 2013) : Giải hệ phương trình Lời giải : Điều kiện , Đặt thì ta có . Từ đó dễ dàng suy ra được Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ : Áp dụng BĐT ta có : Tương tự thì Từ đó suy ra . Đẳng thức xảy ra nếu Mặt khác […]
Bài toán (Đề thi chính thức Olympic Duyên hải Bắc Bộ toán 10 năm 2012) Giải hệ phương trình Lời giải : Ta thấy các biến của hệ có bậc cao nhất là như nhau nên ý tưởng ở đây là cộng vế hai phương trình (có nhân hệ số thích hợp) để đưa về […]
Bài toán : Giải hệ phương trình Lời giải : Vì không là nghiệm của hệ nên ta xét . Đặt Từ ta có Thay vào : . Thay vào lại được Suy ra . Phương trình này cho nghiệm Vì nên , chú ý Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là với
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH. 1. Phương pháp giải hệ phương trình bậc hai hai ẩn. Dạng tổng quát a) Nếu một trong hai phương trình là bậc nhất thì dễ dàng giải được hệ bằng phương pháp thế. b) Nếu một trong hai phương trình là thuần nhất bậc hai, chẳng […]