[Bài toán] Hệ phương trình vô tỉ

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Bến Tre tỉnh Bến Tre)

Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}(23-3x)\sqrt{7-x}=(20-3y)\sqrt{6-y}\\ \sqrt{2x+y+2}-\sqrt{-3x+2y+8}=-3x^2+14x+8\end{array}$

Lời giải :

Phương trình đầu có thể viết lại dưới dạng : $\left[2+3(7-x)\right]\sqrt{7-x}=\left[2+3(6-y)\right]\sqrt{6-y}\iff 3\sqrt{(7-x{)}^3}+2\sqrt{7-x}=3\sqrt{(6-y{)}^3}+2\sqrt{6-y}$

Xét hàm $f(x)=3x^3+2x$, hàm này đồng biến trên $\mathbb{R}$, chính vì vậy $f\left(\sqrt{7-x}\right)=f\left(\sqrt{6-y}\right)\iff 7-x=6-y\iff y=x-1$

Thay vào phương trình thứ hai :

$\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}$$=-3x^2+14x+8$$\iff \left(\sqrt{3x+1}-4\right)-\left(\sqrt{6-x}-1\right)$$=-3x^2+14x+5$$\iff \frac{3(x-5)}{\sqrt{3x+1}+4}-\frac{5-x}{\sqrt{6-x}+1}$$=-(x-5)(3x+1)$$\iff \left(x-5\right)\left(\frac{1}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{1}{\sqrt{6-x}+1}+3x+1\right)$$=0$

Rõ ràng ta có một điều kiện cho biến $x$ là $x\ge \frac{-1}{3}$ nên $3x+1\ge 0$

Từ đó $\frac{1}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{1}{\sqrt{6-x}+1}+3x+1>0$

Suy ra $x=5$, từ đó $y=4$. Thử lại ta thấy thỏa mãn.

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là $(x,y)=(5,4)$