[Bài toán] Phép thế lượng giác

Bài toán : Giải hệ phương trình $⎩ ⎨ ⎧ z^{2} + 2 x y z = 1 (1) 3 x^{2} y^{2} + 3 x y^{2} = 1 + x^{3} y^{4} (2) z + z y^{4} + 4 y^{3} = 4 y + 6 y^{2} z (3)$

Lời giải :

Vì $(x, y, 0)$ không là nghiệm của hệ nên ta xét $z \neq = 0$ .

Đặt $z = t an t, t \in (\frac{- π}{2}, \frac{π}{2}) ∖ {0}$

Từ $(1)$ ta có $x y = \frac{1 - z ^{2}}{2 z} = \frac{1 - t a n ^{2} t}{2 t an t} = \frac{1}{t an 2 t} = co t 2 t$

Thay vào $(2)$ : $3 co t^{2} 2 t + 3 y . co t 2 t = 1 + co t^{3} 2 t . y \Leftrightarrow y = \frac{3 co t ^{2} 2 t - 1}{co t ^{3} 2 t - 3 co t 2 t} = \frac{3 t an 2 t - t a n ^{3} 2 t}{1 - 3 t a n ^{2} t} = t an 6 t$ .

Thay vào $(3)$ lại được $z + z t a n^{4} 6 t + 4 t a n^{3} 6 t = 4 t an 6 t + 6 t a n^{2} 6 t z \Leftrightarrow z = \frac{4 t an 6 t - 4 t a n ^{3} 6 t}{1 + t a n ^{4} 6 t - 6 t a n ^{2} 6 t} = t an 24 t$

Suy ra $t an t = t an 24 t$ . Phương trình này cho nghiệm $t = \frac{k π}{23} (k \in Z)$

Vì $t \in (\frac{- π}{2}, \frac{π}{2})$ nên $k \in {\pm 11, \pm 10, ..., \pm 1}$ , chú ý $t \neq = 0$

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là $(x, y, z) = (\frac{1}{t an 2 t . t an 6 t}, t an 6 t, t an t)$ với $t \in {\frac{\pm π}{23}, \frac{\pm 2 π}{23}, ..., \frac{\pm 11 π}{23}}$

[Bài toán] Phép thế lượng giác

Đề bài

Mô tả