[Bài toán] Phương pháp hệ số bất định

Bài toán (Đề thi chính thức Olympic Duyên hải Bắc Bộ toán 10 năm 2012) 

Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}{x}^3-y^3-3y^2=9\\ x^2+y^2=x-4y\end{array}$

Lời giải :

Ta thấy các biến $x,y$ của hệ có bậc cao nhất là như nhau nên ý tưởng ở đây là cộng vế hai phương trình (có nhân hệ số thích hợp) để đưa về phương trình ${\left(x+m\right)}^3=(y+n{)}^3$.

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với $a$ rồi cộng vế với phương trình đầu :

$x^3-y^3-3y^2+a(x^2+y^2)$$=9+a(x-4y)$$\iff \left(x^2+a{x}^2-ax\right)$$=9+\left(y^3+(3-a)y^2-4ay\right)$

Mặt khác ta có ${\left(x+m\right)}^3={\left(x+n\right)}^3\iff x^3+3m{x}^2+3m^{2}x+m^3=y^3+3n{y}^2+3n^{2}y+n^3$

Như vậy cần chọn $a,m,n$ thỏa mãn hệ :

$$\{\begin{array}{c}3m=a,3m^2=-a\\ 3n=3-a,3n^2=-4a\\ n^3-m^3=9\end{array}\iff m=-1,n=2,a=-3$$

Như vậy thì ta được $(x-1{)}^3=(y+2{)}^3\iff x=y+3$

Dẫn đến phương trình : $(y+3{)}^2+y^2=(y+3)-4y\iff y^2+5y+3=0\iff y=\frac{-5\pm \sqrt{13}}{2}$

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là $\left(x,y\right)=\left(\frac{1\pm \sqrt{13}}{2},\frac{-5\pm \sqrt{13}}{2}\right)$