[Bài toán] Phương trình nghiệm nguyên

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2011 THPT Chuyên Trà Vinh tỉnh Trà Vinh) :

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $x^{x+y}=y^{y-x}$

Lời giải :

Từ phương trình dễ thấy phải có $y\ge x$. Nếu $x=y$ thì cặp $(1,1)$ thỏa mãn.

Xét $y>x$

Khi đó viết phương trình thành : $x^{2x}={\left(\frac{y}{x}\right)}^{y-x}\in \mathbb{Z}\Rightarrow x\mid y\Rightarrow y=tx(t\in {\mathbb{N}}^{\ast })$

Thay vào phương trình : $x^{2x}=t^{tx-x}\iff x^2=t^{t-1}$

Nếu $t$ lẻ, đặt $t=2k+1(k\in {\mathbb{N}}^{\ast })$, ta có $x^2=(2k+1{)}^{2k}\Rightarrow x=(2k+1{)}^k$

Suy ra $y=(2k+1{)}^{k+1}$

Nếu $t$ chẵn thì $t-1$ lẻ mà $x^2=t^{t-1}$ nên $t$ phải là số chính phương. Đặt $t=(2m{)}^2(m\in {\mathbb{N}}^{\ast })$

Ta được $x^2=(4m^2{)}^{4m^2-1}\Rightarrow x=(2m{)}^{4m^2-1}$, suy ra $y=(2m{)}^2.(2m{)}^{4m^2-1}=(2m{)}^{4m^2+1}$

Kết luận : Nghiệm nguyên dương của phương trình là $\boxed{(x,y)=(1,1),((2k+1{)}^k,(2k+1{)}^{k+1}),((2m{)}^{4m^2-1},(2m{)}^{4m^2+1})}$ với $m,k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$