1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương luôn tồn tại một dãy gồm số nguyên liên tiếp sao cho bất kì số nào trong dãy cũng đều có ước dạng . Lời giải : Bổ đề : Với là các số nguyên dương và là số nguyên dương khác thì ta […]
Bài toán : Giải phương trình Lời giải : Đặt ta được hệ : Tư tưởng của bài toán là ta sẽ cộng vế hai phương trình để thu được một phương trình mà hai vế là hai hàm số có cấu trúc giống nhau. Chọn một số thích hợp để nhân vào hai vế […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Tiền Giang tỉnh Tiền Giang) : Giải phương trình Lời giải : Đặt Ta được hệ : Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ : Nhận thấy hàm số đồng biến trên , từ đó ta có : Ta xét . Đặt […]
Bài toán (Đề thi Olympic 30-4 chính thức toán 10 năm 2001) Giải phương trình Lời giải : Điều kiện . Đặt Khi đó phương trình trở thành : Với điều kiện ta tìm được và . Suy ra Thử lại ta kết luận được tập nghiệm của phương trình là
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2002 THPT Thị xã Cao Lãnh tỉnh Đồng Tháp) Giải phương trình Lời giải : Đưa phương trình về dạng : Xét hàm số . Dễ dàng thấy được hàm này đồng biến trên . Khi đó ta có . Kết luận : Tập nghiệm của phương trình […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Lê Qúy Đôn, Tp Đà Nẵng) Giải hệ phương trình : Lời giải : Biến đổi phương trình thứ hai : Rõ ràng với mọi số thực , vậy suy ra . Viết phương trình đầu thành : Xét hàm số , dễ thấy […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 môn toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Phan Ngọc Hiển, Cà Mau) : Giải hệ phương trình Lời giải : Điều kiện Hệ đã cho có thể viết thành : Đặt ta được hệ đối xứng loại II : Trừ vế theo vế hai phương trình này : Dễ […]
Bài toán : Giải phương trình Lời giải : Từ phương trình ta thấy phải có . Do vậy ta đặt . Ta được phương trình : Chú ý rằng ta tìm được Thử lại ta kết luận tập nghiệm của phương trình là
Bài toán : Cho tam giác và một điểm nằm trong tam giác. Các tia lần lượt cắt các cạnh của tam giác tại các điểm . Gọi lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng và , và , và . a) Chứng minh rằng các trung điểm lần lượt của cùng […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 môn toán 11 năm 2011 THPT Chuyên Hùng Vương, tỉnh Gia Lai) Giải hệ phương trình Lời giải : Xét , từ ta được . Nhưng không thỏa mãn Ta xét : Chia hai vế của phương trình cho : Xét hàm số , dễ thấy hàm này đồng biến […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2011 THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu, tỉnh Đồng Tháp) Giải hệ phương trình Lời giải : Điều kiện Xét thì từ suy ra . Cặp không thỏa . Xét , chia hai vế của phương trình cho , được : Xét hàm số , hàm này đồng biến […]
Bài toán (THTT số 429) : Giải phương trình Lời giải : Điều kiện . Nếu thì , nên phương trình vô nghiệm Do vậy phải có . Đặt Thay vào ta được phương trình : Với điều kiện thì ta tìm được Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là
Bài 1 Giải phương trình Bài 2 Giải phương trình Bài 3 Giải phương trình Bài 4 Giải phương trình Bài 5 Giải phương trình Bài 6 Giải phương trình Bài 7 Giải phương trình Bài 8 Giải phương trình Bài 9 Giải phương trình Bài 10 Giải phương trình: Bài 11 Giải phương trình Bài 12 Giải phương trình […]
Bài 1 Giải hệ phương trình Bài 2 Giải hệ phương trình Bài 3 Giải hệ phương trình Bài 4 Giải hệ phương trình Bài 5 Giải hệ phương trình Bài 6 Giải hệ phương trình Bài 7 Giải hệ phương trình Bài 8 Giải hệ phương trình Bài 9 Giải hệ phương trình Bài […]
Bài toán (IMO Shortlist 2006) Tìm các số nguyên dương thỏa mãn phương trình . Lời giải : Bổ đề : Cho các số nguyên dương () và số nguyên tố thỏa mãn . Khi đó thì Chứng minh bổ đề : Gọi là một ước nguyên tố của . Từ đề bài ta có Nếu thì […]
Bài toán Tìm các số nguyên tố thỏa mãn chia hết cho Lời giải : Bổ đề : Cho các số nguyên tố trong đó lẻ và thỏa mãn khi đó thì hoặc . Chứng minh bổ đề : Từ giả thiết ta có Mà theo định lí nhỏ thì Nếu thì Nếu thì Nếu thì mà […]
Bài toán : Cho số nguyên dương lớn hơn và thỏa mãn . Chứng minh rằng là số chẵn. Lời giải : Gọi là ước nguyên tố bé nhất của Theo giả thiết thì Hiển nhiên vì nếu vậy thì (vô lí). Khi đó theo định lí nhỏ ta có . Gọi là một ước nguyên tố […]
Bài toán (USA TST 2003): Tìm các số nguyên tố thỏa mãn đồng thời . Lời giải : Bổ đề : Cho các số nguyên tố trong đó lẻ và thỏa mãn thì khi đó hoặc Xem chứng minh bổ đề tại đây Trở lại bài toán. Nhận thấy rằng các số nguyên tố phải phân […]
Bài toán : Tìm số nguyên dương thỏa mãn . Lời giải : Ta thấy thỏa mãn. Xét . Gọi là ước nguyên tố bé nhất của . Theo đề bài ta có . Theo định lí nhỏ thì Ta gọi là ước nguyên tố của , ta thấy và . Điều này mâu thuẫn vì là […]
Bài toán (Korea Final Round 2007) Tìm các số nguyên tố thỏa mãn . Lời giải : Bổ đề : Cho các số nguyên tố trong đó lẻ và thỏa mãn thì khi đó hoặc . Bài toán : Từ đề bài ta có và Xét ta có , thử lại cặp thỏa mãn. Tương tự […]