[Bài toán] Phương trình vô tỉ

Bài toán : Giải phương trình $x^3-6x^2+12x-7=\sqrt[3]{-x^3+9x^2-19x+11}$

Lời giải :

Đặt $\sqrt[3]{-x^2+9x^2-19x+11}=t$ ta được hệ :

$$\{\begin{array}{c}{x}^3-6x^2+12x-7=t(1)\\ -x^3+9x^2-19x+11=t^3(2)\end{array}$$

Tư tưởng của bài toán là ta sẽ cộng vế hai phương trình để thu được một phương trình mà hai vế là hai hàm số có cấu trúc giống nhau.

Chọn một số $a$ thích hợp để nhân vào hai vế của $(1)$ rồi cộng vế theo vế với $(2)$ :

$$a(x^3-6x^2+12x-7)-x^3+9x^2-19x+11=t^3+at\iff (a-1)x^3+(9-6a)x^2+(12a-19)x+(11-7a)=t^3+at$$

Cụ thể, ta chọn $a=2$ thì được : $x^3-3x^2+5x-3=t^3+2t\iff (x-1{)}^3+2(x-1)=t^3+2t$

Xét hàm số $f(x)=x^3+2x$, dễ thấy hàm này đồng biến trên $\mathbb{R}$, theo phần trên ta có :

$f(x-1)$$=f(t)$$\iff x-1$$=t$$\iff x-1$$=\sqrt[3]{-x^3+9x^2-19x+11}$$\iff -x^3+9x^2-19x+11$$=x^3-3x^2+3x-1$$\iff x^3-6x^2+11x-6$$=0$$\iff (x-1)(x-2)(x-3)$$=0$$\iff x\in \left\{1,2,3\right\}$

Thử lại ta thấy các nghiệm này thỏa mãn phương trình đã cho.

Kết luận : Tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{1,2,3\right\}$