[Bài toán] Hệ phương trình

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Lê Qúy Đôn, Tp Đà Nẵng) Giải hệ phương trình :

$$\{\begin{array}{c}2x^3-y^2+\sqrt[3]{2x^3-3y+1}-\sqrt[3]{y^2+1}=3y\\ x^5+x^3{y}^2+x{y}^4-y{x}^4-x^2{y}^3-y^5+2013(x-y)=0\end{array}$$

Lời giải :

Biến đổi phương trình thứ hai :

$(x^5-y^5)+x^2{y}^2(x-y)-xy(x^3-y^3)+2013(x-y)$$=0$$\iff (x-y)(x^4+y^4+x^{3}y+x{y}^3+x^2{y}^2)+x^2{y}^2(x-y)-xy(x-y)(x^2+xy+y^2)+2013(x-y)$$=0$$\iff (x-y)(x^4+y^4+x^2{y}^2+2013)$$=0$

Rõ ràng $x^4+y^4+x^2{y}^2+2013>0$ với mọi số thực $x$, vậy suy ra $x=y$.

Viết phương trình đầu thành :

$$(2x^3-3y)+\sqrt[3]{2x^3-3y+1}=y^2+\sqrt[3]{y^2+1}$$

Xét hàm số $f(x)=x+\sqrt[3]{x+1}$, dễ thấy hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Từ đó $f(2x^3-3y)=f(y^2)\iff 2x^3-3y=y^2$.

Thay $x=y$ ta được phương trình $2x^3-x^2-3x=0\iff x(2x^2-x-3x)=0\iff x\in \left\{0,-1,\frac{3}{2}\right\}$.

Kết luận : Tập nghiệm của hệ phương trình là $S=\left\{\left(0,0\right),\left(-1,-1\right),\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)\right\}$