[Bài toán] Thẳng hàng

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ nằm trong tam giác. Các tia $AM,BM,CM$ lần lượt cắt các cạnh của tam giác $ABC$ tại các điểm $A_1,B_1,C_1$. Gọi $A_2,B_2,C_2$ lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng $B_1{C}_1$ và $BC$, $C_1{A}_1$ và $CA$, $A_1{B}_1$ và $AB$. 

a) Chứng minh rằng các trung điểm $A_3,B_3,C_3$ lần lượt của $A{A}_2,B{B}_2,C{C}_2$ cùng nằm trên một đường thẳng.

b) Gọi $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $Ceva$ $A{A}_1,B{B}_1,C{C}_1$. Chứng minh hệ thức $\overline{B_3{C}^{\prime }}.\overline{C_3{A}^{\prime }}.\overline{A_3{B}^{\prime }}=\overline{C_3{B}^{\prime }}.\overline{A_3{C}^{\prime }}.\overline{B_3{A}^{\prime }}$

Lời giải :

a) Xét hai tam giác $ABC$ và $A_1{B}_1{C}_1$ với $\left\{A_2\right\}=B_1{C}_1\cap BC,\left\{B_2\right\}=C_1{A}_1\cap CA,\left\{C_2\right\}=A_1{B}_1\cap AB$

Mặt khác lại có $A{A}_1,B{B}_1,C{C}_1$ đồng quy nên theo định lí $Desargues$ ta có $A_2,B_2,C_2$ thẳng hàng.

Từ đó theo định lí $Gauss$ cho tứ giác $A_{2}BA{B}_2$ với $\left\{C\right\}=A_{2}B\cap B_{2}A,\left\{C_2\right\}=A_2{B}_2\cap AB$ ta có trung điểm của các đoạn thẳng $A{A}_2,B{B}_2,C{C}_2$ thẳng hàng.

Tức là $A_3,B_3,C_3$ thẳng hàng.

b) Theo định lí $Gauss$ ta có các bộ điểm sau thẳng hàng $(B_3,A^{\prime },C^{\prime }),(C_3,B^{\prime },A^{\prime }),(A_3,B^{\prime },C^{\prime })$

Từ đó áp dụng định lí $Menelaus$ cho tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với đường thẳng $A_3{B}_3{C}_3$ ta có :

$\frac{\overline{B_3{A}^{\prime }}}{\overline{B_3{C}^{\prime }}}.\frac{\overline{A_3{C}^{\prime }}}{\overline{A_3{B}^{\prime }}}.\frac{\overline{C_3{B}^{\prime }}}{\overline{C_3{A}^{\prime }}}$$=1$

Từ đó suy ra $\overline{B_3{C}^{\prime }}.\overline{C_3{A}^{\prime }}.\overline{A_3{B}^{\prime }}=\overline{C_3{B}^{\prime }}.\overline{A_3{C}^{\prime }}.\overline{B_3{A}^{\prime }}$