[Bài toán] Phép thế lượng giác

Bài toán (Đề thi Olympic 30-4 chính thức toán 10 năm 2001) Giải phương trình $64x^6-112x^4+56x^2-7=2\sqrt{1-x^2}$

Lời giải :

Điều kiện $x\in \left[-1,1\right]$. Đặt $x=cost,t\in \left[0,\pi \right]$

Khi đó phương trình trở thành :

$64co{s}^{6}t-112co{s}^{4}t+56co{s}^{2}t-7$$=2\sqrt{1-co{s}^{2}t}$$\iff 64co{s}^7-112co{s}^{5}t+56co{s}^{3}t-7cost$$=2cost.sint$$\iff cos7t$$=sin2t$$\iff cos7t$$=cos\left(\frac{\pi }{2}-2t\right)$$\iff 7t$$=\frac{\pi }{2}-2t+k2\pi \vee 7t$$=-\left(\frac{\pi }{2}-2t\right)+l2\pi (l,k\in \mathbb{Z})$$\iff t$$=\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{9}\vee t$$=\frac{-\pi }{10}+\frac{l2\pi }{5}$

Với điều kiện $t\in \left[0,\pi \right],l,k\in \mathbb{Z}$ ta tìm được $k\in \left\{0,1,2,3,4\right\}$ và $l\in \left\{1,2\right\}$.

Suy ra $t\in \left\{\frac{\pi }{18},\frac{5\pi }{18},\frac{\pi }{2},\frac{13\pi }{18},\frac{17\pi }{18},\frac{3\pi }{10},\frac{7\pi }{10}\right\}$

Thử lại ta kết luận được tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{cos\frac{\pi }{18},cos\frac{5\pi }{18},cos\frac{13\pi }{18},cos\frac{17\pi }{18},cos\frac{3\pi }{10},cos\frac{7\pi }{10}\right\}$