[Bài toán] Phép thế lượng giác

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 môn toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Phan Ngọc Hiển, Cà Mau) : Giải hệ phương trình 

$$\{\begin{array}{c}{x}^2+3x^{2}y=\frac{8}{x}\\ \\ y^3-1=\frac{6}{x}\end{array}$$

Lời giải :

Điều kiện $x\ne 0$

Hệ đã cho có thể viết thành :

$$\{\begin{array}{c}3y={\left(\frac{2}{x}\right)}^2-1\\ 3.\frac{2}{x}=y^3-1\end{array}$$

Đặt $t=\frac{2}{x}$ ta được hệ đối xứng loại II : $\{\begin{array}{c}3y=t^3-1\\ 3t=y^3-1\end{array}$

Trừ vế theo vế hai phương trình này :

$$y^3-t^3=3(t-y)\iff (y-t)(y^2+yt+t^2+3)=0$$

Dễ dàng thấy rằng $y^2+yt+t^2+3={\left(y+\frac{t}{2}\right)}^2+\frac{3t^2}{4}+3>0$ nên phải có $y=t$.

Dẫn đến phương trình : $y^3-3y-1=0(\ast )$

Ta xét $|y|\le 2$, đặt $y=2cos\alpha$ với $\alpha \in \left[0,\pi \right]$ thì :

$8co{s}^3\alpha -6cos\alpha$$=1$$\iff cos3\alpha$$=\frac{1}{2}$$\iff \alpha$$=\frac{\pm }{9}+\frac{k2\pi }{3}$

Chú ý $\alpha \in \left[0,\pi \right]$ ta được $y\in \left\{2cos\frac{\pi }{9},2cos\frac{5\pi }{9},2cos\frac{7\pi }{9}\right\}$.

Vì $(\ast )$ có bậc ba nên có tối đa ba nghiệm. Do đó trường hợp $|y|>2$ thì $(\ast )$ không có nghiệm.

Kết luận : Tập nghiệm của hệ phương trình là $S=\left\{\left(\frac{1}{cos\frac{\pi }{9}},2cos\frac{\pi }{9}\right),\left(\frac{1}{cos\frac{5\pi }{9}},2cos\frac{5\pi }{9}\right),\left(\frac{1}{cos\frac{7\pi }{9}},2cos\frac{7\pi }{9}\right)\right\}$