[Bài toán] Cấp của một số nguyên

Bài toán : Cho số nguyên dương $n$ lớn hơn $1$ và thỏa mãn $n\mid 3^n-1$. Chứng minh rằng $n$ là số chẵn.

Lời giải :

Gọi $p$ là ước nguyên tố bé nhất của $n$

Theo giả thiết thì $3^n\equiv 1(modp)\Rightarrow or{d}_p(3)\mid n(1)$

Hiển nhiên $p\ne 3$ vì nếu vậy thì $3\mid 3^n-1$ (vô lí). Khi đó theo định lí $Fermat$ nhỏ ta có $3^{p-1}\equiv 1(modp)\Rightarrow or{d}_p(3)\mid p-1\Rightarrow p>p-1>or{d}_p(3)(2)$.

Gọi $q$ là một ước nguyên tố của $or{d}_p(3)$ thì theo $(1)$, $q$ là một ước nguyên tố của $n$ nhưng theo $(2)$ thì $p>q$. Điều này mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của $p$.

Suy ra $or{d}_p(3)=1$. Khi đó $3\equiv 1(modp)\Rightarrow p=2$. Suy ra $n$ chẵn. Đây là điều phải chứng minh.

Tổng quát bài toán : Cho số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $n\mid (p+1{)}^n-1$. Chứng minh rằng $n$ chia hết cho $p$.