[Bài toán] Phương trình vô tỉ

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Tiền Giang tỉnh Tiền Giang) : Giải phương trình $8x^3+10x-17=8\sqrt[3]{30x-24x^2-7}$

Lời giải :

Đặt $\sqrt[3]{30x-24x^2-7}=y$

Ta được hệ : $\{\begin{array}{c}8x^3+10x-17=8y\\ -24x^2+30x-7=y^3\end{array}$

Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ :

$$8x^3-24x^2+40x-24=y^3+8y\iff (2x-2{)}^3+8(2x-2)=y^3+8y$$

Nhận thấy hàm số $f(x)=x^3+8x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, từ đó ta có :

$f(2x-2)$$=f(y)$$\iff 2x-2$$=y$$\iff (2x-2{)}^3$$=-24x^2+30x-7$$\iff 8x^3-6x$$=1(\ast )$

Ta xét  $|x|\le 1$.

Đặt $x=cost,t\in \left[0,\pi \right]$ thì ta được :

$2(4co{s}^{3}t-3cost)$$=1$$\iff cos3t$$=\frac{1}{2}$$\iff 3t$$=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$$\iff t$$=\pm \frac{\pi }{9}+\frac{k2\pi }{3}$

Do $t\in \left[0,\pi \right]\Rightarrow \pm \frac{\pi }{9}+\frac{k2\pi }{3}\in \left[0,\pi \right]\Rightarrow k\in \left\{0,1\right\}$

Từ đó ta tìm được $x\in \left\{cos\frac{5\pi }{9},cos\frac{\pi }{9},cos\frac{7\pi }{9}\right\}$

Phương trình $(\ast )$ có bậc ba nên có tối đa ba nghiệm. Do đó trường hợp $|x|>1$ thì nó vô nghiệm.

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{cos\frac{5\pi }{9},cos\frac{\pi }{9},cos\frac{7\pi }{9}\right\}$