1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán : Cho số tùy ý. Chứng minh rằng ta có thể chọn được một hoặc một số số nào đó mà tổng của chúng chia hết cho . Lời giải : Gỉa sử số đã cho là . Xét tổng sau : … . Nếu có ít nhất một trong các tổng trên chia […]
Bài toán : Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Viết bất đẳng thức dưới dạng : Điều kiện đã cho có thể viết thành : . Do đó ta có quyền đổi biến với là ba góc một tam giác. Khi đó và ,, Như vậy thì BĐT […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 môn toán 10 THPT Chuyên Kon Tum, tỉnh Kon Tum 2011) : Xác định hình dạng tam giác nếu biết rằng : Lời giải : Đặt thì Mặt khác thì Từ đó ta thấy và Các hệ thức với tương tự. Do đó giả thiết đề bài có thể […]
Bài toán (Đề thi Olympic 30-4 chính thức toán 10 năm 2003) : Cho tam giác nội tiếp đường tròn , các phân giác trong cắt lần lượt tại . Chứng minh rằng : Lời giải : Theo định lí hàm sin : Và theo công thức đường phân giác : Suy ra Ta có […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2003 THPT Hùng Vương, Gia Lai) : Cho số dương thỏa mãn hệ : Chứng minh rằng trong số đã cho tồn tại hai số sao cho : Lời giải : Ta có Hoàn toàn tương tự, từ đó ta có Mặt khác thì Như vậy […]
Bài toán : Cho các số dương thuộc đoạn . Chứng minh rằng : Lời giải : Cố định biến , xem vế trái của BĐT cần chứng minh là một hàm số theo : Đặt , đây là một hàm số theo trên , với và thì đồ thị hàm số này là một nhánh […]
Bài toán : Cho tam giác cố định và điểm thay đổi trên cạnh . Gọi lần lượt là điểm đối xứng với qua . Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng luôn thuộc một đường thẳng cố định. Lời giải : Gọi lần lượt là giao điểm của với và với . Dựng […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2011 THPT Hùng Vương, Bình Phước) : Cho các số dương thỏa mãn hệ : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Lời giải : Dự đoán giá trị lớn nhất là và đạt được khi . Do đó ta sẽ chứng minh Thật vậy, áp dụng […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2011 THPT Hùng Vương, TpHCM) : Tìm các số tự nhiên sao cho là số nguyên tố. Lời giải : Nhận xét rằng phải có . Ta luôn có Đặt Nếu chẵn thì , khi đó Nhưng do nên , suy ra . Nhận xét rằng nếu thì , […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2011 THPT Chuyên Lê Hồng Phong TpHCM) Chứng minh rằng trong số nguyên tùy ý ta luôn chọn được số có tổng chia hết cho . Lời giải : Bổ đề : Trong số nguyên tùy ý thì luôn tồn tại số có tổng chia hết […]
Bài toán : Chứng minh rằng Lời giải : Bổ đề 1 : Với mọi số nguyên dương và số thực thì với Chứng minh bổ đề 1 : Nếu thì Nếu thì Mặt khác Suy ra . Từ hai trường hợp trên thì bổ đề chứng minh hoàn tất. Bổ đề 2 : Với mọi […]
PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1) Một số phép thế lượng giác cơ bản : a) Nếu thì đặt hoặc b) Nếu thì đặt c) Nếu hai biến thỏa mãn hệ thức thì đặt d) Nếu ba biến thỏa mãn một trong hai hệ thức hoặc thì đặt […]
Bài toán (Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 10 năm 2003) : Giải hệ phương trình Lời giải : Viết hệ đã cho thành : Nhận thấy rằng hệ không có các nghiệm Do đó ta có : Đặt Ta có Từ đó và Suy ra Do đó Mặt khác Kết luận : Hệ […]
Bài toán : Chứng minh rằng với mọi số nguyên , thì luôn tồn tại số nguyên sao cho Lời giải : Đặt Để ý rằng tập chính là hệ thặng dư đầy đủ modulo nên tồn tại số nguyên sao cho Lại theo định lí thì Tức là Từ đó suy ra . Đây là […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2011 THPT Chuyên Quang Trung, Bình Phước) : Giải hệ phương trình Lời giải : Từ phương trình đầu của hệ, ta có thể đặt . Khi đó thay vào phương trình sau của hệ thì ta được : Vì Kết luận : Hệ phương trình có […]
Bài toán : Cho hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên sao cho là hợp số với mọi số nguyên dương . Lời giải : Xét hệ đồng dư , do nên theo định lí phần dư Trung Hoa thì hệ này chắc chắn có nghiệm. Nếu chẵn […]
Bài toán (Balkan 2000) : Cho tập với . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên sao cho các phần tử của tập đều là lũy thừa của một số tự nhiên với số mũ lớn hơn . Lời giải : Xét số nguyên tố phân biệt . Xét các hệ đồng dư tuyến tính : …. Theo […]
Bài toán : Từ một điểm nằm ngoài đường tròn tâm , kẻ tiếp tuyến và cát tuyến đến với là tiếp điểm, nằm giữa và . Đường thẳng qua vuông góc với cắt tia lần lượt tại . Chứng minh rằng là trung điểm của . Lời giải : Vẽ tiếp tuyến với đường […]
Bài toán : Cho là số nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại một bội số của sao cho chữ số tận cùng của nó đôi một khác nhau. Lời giải : Nếu thì hiển nhiên luôn tồn tại một số thỏa đề, ví dụ Nếu thì cũng luôn tồn tại một số thỏa đề, […]
Bài toán : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương luôn tồn tại số nguyên sao cho là lũy thừa của một số tự nhiên với số mũ lớn hơn với mọi Lời giải : Ta chọn các số như sau : Khi đó thì : Xét các số nguyên tố phân biệt Xét […]