[Bài toán] Xác định tam giác

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 môn toán 10 THPT Chuyên Kon Tum, tỉnh Kon Tum 2011) : 

Xác định hình dạng tam giác $ABC$ nếu biết rằng : 

$\frac{1+cosA}{(1-cosB)(1-cosC)}+\frac{1+cosB}{(1-cosC)(1-cosA)}+\frac{1+cosC}{(1-cosA)(1-cosB)}$$=18$

Lời giải :

Đặt $a=tan\frac{A}{2}>0,b=tan\frac{B}{2}>0,c=tan\frac{C}{2}>0$ thì $ab+bc+ca=1$

Mặt khác thì $cosA=\frac{1-a^2}{1+a^2},cosB=\frac{1-b^2}{1+b^2},cosC=\frac{1-c^2}{1+c^2}$

Từ đó ta thấy $cosA+1=\frac{1-a^2}{1+a^2}+1=\frac{2}{1+a^2}=\frac{2}{(a+b)(c+a)}$

và $1-cosA=1-\frac{1-a^2}{1+a^2}=\frac{2a^2}{1+a^2}=\frac{2a^2}{(a+b)(c+a)}$

Các hệ thức với $cosB,cosC$ tương tự.

Do đó giả thiết đề bài có thể viết lại thành :

$\sum _{a,b,c}\left(\frac{2}{(a+b)(a+c)}.\frac{(b+c)(b+a)}{2b^2}.\frac{(c+a)(c+b)}{2c^2}\right)$$=18$$\iff \frac{(b+c{)}^2}{b^2{c}^2}+\frac{(c+a{)}^2}{c^2{a}^2}+\frac{(a+b{)}^2}{a^2{b}^2}$$=36$

Mặt khác, theo BĐT $AM-GM$ và $Cauchy-Schwarz$, ta có :

$\frac{(b+c{)}^2}{b^2{c}^2}+\frac{(c+a{)}^2}{c^2{a}^2}+\frac{(a+b{)}^2}{a^2{b}^2}$$\ge \frac{4}{bc}+\frac{4}{ca}+\frac{4}{ab}$$\ge \frac{36}{ab+bc+ca}$$=36$

Đẳng thức xảy ra khi $A=B=C$, hay tam giác $ABC$ là tam giác đều.