[Bài toán] Số nguyên tố, Tìm nghiệm nguyên

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2011 THPT Hùng Vương, TpHCM) : Tìm các số tự nhiên $a,b$ sao cho $A=3^{9a^2+3b-86}+10$ là số nguyên tố. 

Lời giải :

Nhận xét rằng phải có $9a^2+3b-86\ge 0$. Ta luôn có $9a^2+3b-86\equiv 1(mod3)$

Đặt $9a^2+3b-86=3k+1(k\in \mathbb{N})$

Nếu $k$ chẵn thì $k=2t(t\in \mathbb{N})$, khi đó $3^{9a^2+3b-86}=3^{3k+1}=3^{6k+1}\equiv 3(mod13)\Rightarrow A\equiv 0(mod13)$

Nhưng do $A\in \mathbb{P}$ nên $A=13$, suy ra $9a^2+3b-86=1\iff 9a^2+3b=87$.

Nhận xét rằng nếu $a\ge 4$ thì $9a^2+3b\ge 9a^2\ge 144>87$, suy ra $a<4$, tức là $a\in \left\{0,1,2,3\right\}$

Thử trực tiếp ta thu được $\left(a,b\right)=(0,29),(1,26),(2,17),(3,2)$.

Nếu $k$ lẻ thì $k=2t+1(t\in \mathbb{N})$, khi đó $3^{9a^2+3b-86}=3^{3k+1}=3^{6t+7}\equiv 3(mod13)$, lí luận hoàn toàn như trường hợp trên.

Kết luận : $\boxed{(a,b)=(0,29),(1,26),(2,17),(3,2)}$