[Bài toán] Chứng minh trung điểm, Hàng điều hòa

Bài toán : Từ một điểm $A$ nằm ngoài đường tròn tâm $O$, kẻ tiếp tuyến $AB$ và cát tuyến $AIK$ đến $(O)$ với $B$ là tiếp điểm, $I$ nằm giữa $A$ và $K$. Đường thẳng qua $K$ vuông góc với $OA$ cắt tia $AB,IB$ lần lượt tại $C,E$. Chứng minh rằng $C$ là trung điểm của $AE$.

Lời giải :

Vẽ tiếp tuyến $AD$ với đường tròn với $D$ là tiếp điểm và $D$ khác $B$. Gọi $J$ là giao điểm của $BD$ với $AK$.

Dễ thấy rằng $BD\parallel KE$ (cùng vuông góc với $OA$), khi đó theo định lí $Thales$ trong tam giác $AKC$ :

$\frac{\overline{JB}}{\overline{KC}}$$=\frac{\overline{AJ}}{\overline{AK}}$$\Rightarrow \overline{KC}$$=\frac{\overline{JB}.\overline{AK}}{\overline{AJ}}$

Tương tự, theo định lí $Thales$ trong tam giác $IKE$ : $\frac{\overline{JB}}{\overline{KE}}=\frac{\overline{IJ}}{\overline{IK}}\Rightarrow \overline{KE}=\frac{\overline{JB}.\overline{IK}}{\overline{IJ}}$

Mặt khác ta có $(AJIK)=-1$ (hàng điều hòa về đường tròn)

Suy ra

$(JKAI)$$=(AIJK)$$=1-(AJIK)$$=2$$\Rightarrow \frac{\overline{AJ}}{\overline{AK}}:\frac{\overline{IJ}}{\overline{IK}}$$=2$$\Rightarrow \frac{\overline{IK}}{\overline{IJ}}$$=2\frac{\overline{AK}}{\overline{AJ}}$$\Rightarrow \frac{\overline{IK}}{\overline{IJ}}.\overline{JB}$$=2.\frac{\overline{AK}}{\overline{AJ}}.\overline{JB}$$\Rightarrow \overline{KE}$$=2\overline{KC}$.

Điều này chứng tỏ $C$ là trung điểm của $KE$.